SKACE: 0,999… = 1

Pozn.: Nešel mi vložit komentář u článku SKACEho (kvůli neplatným tagům), proto to dávám sem.

 

Kobi: Přesně tak, jak jsem psal, je to dokázaný již mnoho mnoho let a jestli se ti to SKACi podaří vyvrátit, tak budeš slavnej a prachatej. A to ty přece chceš ne? Jak se mi ale zdá, tak se ti to nepodaří.

Tak. Konečně mám dostatek prostoru pro plnohodnotný důkaz a nemusím se to snažit nacpat do 140 znaků. :)

Máme geometrickou posloupnost: a + ar + ar² + ar³ ...

Vidíme, že n-tý člen bude: ar^n-1

Tím pádem bude suma n-tého členu:

S_n = a + ar + ar² + ... + ar^n-2 + ar^n-1

vynásobíme obě dvě strany r:

rS_n = ar + ar² + ar³ + ... + ar^n-1 + arⁿ

od toho odečteme předchozí posloupnost: S_n - rS_n = a – arⁿ

tím pádem: S_n(1 - r) = a(1 - rⁿ)

tím pádem: S_n = (a(1 - rⁿ))/(1 - r)

jestliže: |r| < 1 (této řadě se říká konvergentní)

pak čím vyšší bude n, tím blíže bude rⁿ nule.

V limitu r -> 0 když n –> ∞.

Proto bude v limitu n -> ∞ platit, že: S_n = (a(1 - 0)/(1 - r)

takže: S_n = a/(1 - r)

Nám dá sumu pro n -> ∞ libovolné geometrické posloupnosti, kde a je první člen a r je pravidelnost v řadě.

Jestliže tedy máme periodu 0,999..., lze zapsat jako:

0,9 + 0,009 + 0,0009...

což lze zapsat jako: 0,9 + 0,9(1/10) + 0,9(1/10)^2 + 0,9(1/10)^3...

Vzhledem k tomu, že r = 1/10 < 1, je toto konvergentní řada, takže její suma bude:

S_n = a/(1 - r)

a = 0,9

r = 1/10

Dosadíme a vyjde nám:

0,9/(1 - 1/10) = 0,9/0,9 = 1

Suma té řady = 1, na začátku jsme si ale stanovili, že se bude = 0,999... Proto: 0,999... = 1

Zjištění funkce z výsledků

Protože ve třídě zrovna probíráme grafy funkcí, zeptal jsem kamarád, jestli bych dokázal z výsledků nějaké funkce zjistit tu funkci. Začal jsem nad tím přemýšlet a zde jsou moje dosavadní poznatky.

Touto metodou zjistíte jakoukoliv polynomiální funkci, tzn. funkci ve tvaru:

f(x) = a_nxⁿ + b_n-1x^n-1 + c_n-2x^n-2 + d_n-3x^n-3 + ... + a₁x + a₀

neboli, zjednodušeně:

f(x) = a + bx + cx² + dx³ + ex⁴...

Např. tato funkce:

f(x) = 3x³ – 2x² + 5

Tato metoda využívá tohoto faktu:

Jestliže máme řadu výsledků pro nějakou polynomiální funkci, tak podle rozdílů mezi sousedními členy můžeme zjistit, jaká je nejvyšší mocnina této funkce a jaký má koeficient (zjistíme tedy proměnnou a).

 

Př. napišme výsledky funkce y = 3x³ – 2x² + 5:

x	1	2	3	4	5	6
y	6	21	68	165	330	581
a		15	47	97	165	251
b			32	50	68	86
c				18	18	18

a = rozdíl mezi y a předchozím y (první údaj je tedy 21 – 6 = 15, druhý je 68 – 21 = 47)

b = rozdíl mezi a a předchozím a (první údaj je tedy 47 - 15 = 32, druhý je 97 - 47 = 50)

c = rozdíl mezi b a předchozím b (první údaj je tedy 50 - 32 = 18, druhý je 68 – 50 = 18)

Pravidlo je takové, že když se nějaké číslo začne opakovat (nazveme ho o, v tomto případě tedy o = 18) už u y, v rovnici nebude ani jednou proměnná x (rovnice tedy bude y = a). Jestliže se číslo začne opakovat v řádku a, nejvyšší mocnina proměnné x bude x¹ (rovnice tedy bude y = ax + b). Jestliže se číslo začne opakovat u řádku b, nejvyšší mocnina bude x² (a rovnice bude vypadat y = ax² + bx + c), jestliže u řádku c (jako v tomto případě), nejvyšší může být x³. Zjistili jsme tedy, že vzorec této polynomiální funkce bude y = ax³ + bx² + cx + d, protože vyšší mocnina než x³ tu být nemůže.

To však není všechno. O nám zároveň řekne koeficient před nejvyšší mocninou, tedy proměnnou a. Koukněte se na tuto tabulku:

Nejvyšší mocnina x	m
x0	1
x1	1
x2	2
x3	6
x4	24
x5	120
x6	720

Vždy platí, že a = o / m (m zjistíte z výše uvedené tabulky podle nejvyšší mocniny x, což zjistíte podle toho, v jakém řádku se o začne opakovat).

Jestliže se v minulém příkladě o = 18, tak a = 18 / 6 = 3, takže zatím víme, že vzorec naší funkce bude y = 3x³ + bx² + cx + d.

Všimněte si, že m = (nejvyšší mocnina x)! (! je operace zvaná faktoriál a rovná se součinu všech kladných celých čísel od toho čísla až do 1.) Když např. máte nejvyšší mocninu x4, tak m = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24. Proto si tuto tabulku nemusíte pamatovat, stačí si to vždycky odvodit. Pozn.: 0! = 1

Teď odečteme prví člen, 3x³, od každého bodu (je to tedy stejné, jako kdybychom zapsali body pro funkci y = –2x² + 5):

x	1	2	3	4	5	6
y	3	-3	-13	-27	-45	-67
a		-6	-10	-14	-28	-32
b			-4	-4	-4	-4

Kde a a b jsou opět rozdíl mezi bodem nad tím a bodem nahoře-nalevo (první údaj je tedy –3 – 3 = –6).

Platí zde stejné pravidlo ohledně opakování jako minule. Vzhledem k tomu, že se nám o začne opakovat na b, nejvyšší mocnina x bude x². Použijeme vzorec:

a = o / m = –4 / 2 = -2

Další člen tedy bude –2x² + 5.

Opět odečteme nejvyšší člen, tentokrát –2x², od –2x² + 5 (je to tedy stejné, jako kdybychom zapsali body pro funkci y = 5).

x	1	2	3	4	5	6
y	5	5	5	5	5	5

Dříve jsme řekli, že pokud se o začne opakovat už u y, žádná mocnina x ve funkci nebude.

a = o / m = 5 / 1 = 5

Poslední člen tedy bude +5 a celá funkce bude vypadat takto:

3x³ – 2x² + 5

 

Toto je ta nejjednodušší metoda, v dalších článcích to proberu více do hloubky. Tato metoda funguje kvůli tomu, že vždy, když vezmeme rozdíl mezi členy v nějaký polynomiální řadě, tak tím získáme řadu, která má nejvyšší mocninu o jednu níž než předchozí. Proto tohle stačí opakovat dokud se nedostaneme k řadě x = a, což znamená, že se a bude opakovat u všech členů. Bohužel si nedokážu vysvětlit, proč se opakující konstanta rovná zrovna faktoriálu nejvyšší mocniny x. Na druhou stranu je logické, že čím když před nejvyšší mocninou x máme nějaký koeficient, tak to bude jakoby přeskakovat některé čísla, proto opakující se konstanta bude o tolik vyšší.

Také musím poznamenat, že touto metodou můžete zjistit rovnici jakékoliv polynomiální rovnice, nemusíte to tedy brát jako body na grafu nějaké funkce.

Mocniny v modulární aritmetice

x^y mod a = x^{y mod b} mod a

V minulé metodě jsme zjistili, že x^y mod 10 = x^{y mod 4} mod 10. Zajímalo mě, proč je to zrovna čtyři a ne kterékoliv jiné číslo. Samozřejmě to souvisí s tím, že bereme mod 10. Kdybychom např. brali mod 6, bylo by to:

x^y mod 6 = x^{y mod 2} mod 6

Proto mě zajímalo, jaký je vztah mezi a a b. Podívejte se na tuto tabulku:

a	b	c
2	1
3	2
4	2	1
5	4
6	2
7	6
8	2	2
9	6	1
10	4
11	10

Tabulka je samozřejmě velmi zjednodušená, musel jsem počítat s desítkami (přičemž ani Excel nedokázal zobrazit taková čísla, takže jsem musel něco občas počítat na Windows kalkulačce, která dokáže zobrazit více cifer než naprostá většina kalkulaček).

c udává počet prvních mocnin x, které musíme vynechat, aby tam to vyšlo. Př.

	x	x2	x3	x4	x5	x6	x7
1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	4	0	0	0	0	0
3	3	1	3	1	3	1	3
4	4	0	0	0	0	0	0
5	5	1	5	1	5	1	5
6	6	4	0	0	0	0	0
7	7	1	7	1	7	1	7
8	0	0	0	0	0	0	0
9	1	1	1	1	1	1	1

Samozřejmě jsou všechny výsledky v mod 8. Jak je vidět, když vynecháme x¹ a x², tak se nám opakují dvě posloupnosti. Proto když a = 8 –> b = 2 a c = 2.

Pojďme se tedy podívat na způsob, jak zjistit b a c.

Nejprve si udělejte rozklad čísla a na prvočísla. Nejvyšší prvočíslo v rozkladu nazývejme p (jeho mocninu n) a nejvyšší mocninu všech prvočísel nazývejme m.

b = p^{n - 1}(p - 1)

Pokud p = 2 (2 je největší prvočíslo, takže a je mocnina dvojky, tedy např. čísla 8, 16, 32…) a n ≥ 3, udělejte operace n – 2 místo n – 1. Přiznám se, že nedokážu odůvodnit, proč to tak je, ale musíte to udělat, aby vám to vyšlo.

c = m – 1

 

Př.

a = 24 = 2³ * 3

p = 3

n = 1

m = 3

b = 3⁰(2) = 2

c = 3 – 1 = 2

 

Př.

a = 25 = 5²

p = 5

n = 2

m = 2

b = 5¹(4) = 20

c = 2 – 1 = 1

 

A konečně s desítkou:

a = 10 = 5 * 2

p = 5

b = 4

c = 0

Tak jsem si konečně odpověděl na otázku, proč zrovna 4.

Odmocniny – závěr

Ptáte se, proč uvádím metody na druhou, třetí a pátou odmocninu a vynechávám čtvrtou? Podívejte se na tuto tabulku:

x	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	4	8	6	2	4	8	6	2
3	9	7	1	3	9	7	1	3
4	6	4	6	4	6	4	6	4
5	5	5	5	5	5	5	5	5
6	6	6	6	6	6	6	6	6
7	9	3	1	7	9	3	1	7
8	4	2	6	8	4	2	6	8
9	1	9	1	9	1	9	1	9

Kde všechny výsledky jsou mod 10 (a modulár b = zbytek u operace a / b, mod 10 tedy znemná poslední cifra čísla a).

Jak je vidět, jsou pouze čtyři posloupnosti, které se následně opakují. Platí tedy např., že x = x⁵ mod 10 = x⁹ mod 10 = x¹⁴ mod 10 atd.

To je zajímavé samo o sobě. Díky tomu z hlavy víme, že x^y mod 10 = x^{y mod 4} mod 10.

Př. 3⁸⁷ mod 10 = 3^{87 mod 4} mod 10 = 3³ mod 10 = 27 mod 10 = 7

Víme tedy, že 3⁸⁷, číslo, které naprostá většina kalkulaček nedokáže zobrazit v plném rozsahu, bude končit na 7, aniž bychom museli cokoliv zadávat do kalkulačky. Není tohle elegantní?

Proč jsem tedy vynechal čtvrtou odmocninu? Je to proto, že u většiny čísel (80%) máte čtyři možnosti, co může být poslední číslo y. To je velmi nespolehlivý, protože nemůžeme jako v případě druhé mocniny jednoduše použít odhad, obzvlášť proto, že čtvrtá mocnina roste ještě rychleji, než si většina z nás myslí. Proto bychom museli každou možnost zkoušet – dát ji na druhou – zvlášť, což je moc zdlouhavé a náročné.

Samozřejmě by šlo jít dále než pátá mocnina, ale ta je podle mě hranice kompromisu mezi efektností a obtížností. Nasvědčuje tomu také fakt, že většina kalkulaček má 10 míst na cifry, takže zatímco dokážou v plném rozsahu zobrazit všechna číslo mezi 1 a 100 na pátou, tak 47⁶ už zobrazit nedokážou. Tohle je ale na vás.

Ptáte se, proč zrovna čtyři? O tom jsem napsal článek zde.

Na závěr bych rád řekl, že celou tuto metodu jsem vymyslel sám (na dovolený v Německu), a až potom jsem se dozvěděl, že už visí na internetu.

Jak rychle zjistit pátou odmocninu čísla od 1 do 10 miliard

Toto je pokračování metody, kterou zjistíte druhou či třetí odmocninu n², kde 1 ≤ n ≤ 100.

Musím podotknout, že tato metoda funguje pouze v případě, že n je celé číslo a také že se předpokládá, že už znáte metodu pro druhou a třetí odmocninu.

Takže, tabulka bude vypadat takto:

	poslední cifra
02	0
12	1
22	2
32	3
42	4
52	5
62	6
72	7
82	8
92	9

To vypadá velmi jednoduše, problém je zapamatování si páté mocniny všech desítek, abyste mohli určit, mezi jakými desítkami se výsledek nachází. Ukazuje to tato tabulka:

y	y5 = x	y5 = x zaokrouhleno
10	100 000	100 000
20	3 200 000	3 mil.
30	24 300 000	25 mil.
40	102 400 000	100 mil.
50	312 500 000	300 mil.
60	777 600 000	800 mil.
70	1 680 700 000	1600 mil.
80	3 279 800 000	3200 mil.
90	5 904 900 000	6000 mil.
100	10 000 000 000	10 000 mil.

Stačí si zapamatovat zaokrouhlené výsledky, protože podle toho to většinou poznáte.

Př.

x = 6 590 815 232

y = √x

Podle poslední cifry poznáme, že poslední cifra y musí být 2. Dále si uvědomíme, že x je mezi 6000 miliony a 10 000 miliony, tím pádem musí y být mezi 90 a 100.

y = 92

 

Př.

x = 282 475 249

Poslední cifra musí být 9. y musí být mezi 40 a 50.

y = 49

 

Dobrá věc ohledně páté mocniny je také to, že tuto metodu můžete použít i pro zjištění y, když x > 100, stačí si jenom zapamatovat páté mocniny následujících desítek (110, 120, 130…). Jste tedy omezeni pouze vaší pamětí, nikoliv vašimi matematickými schopnostmi. Na druhou stranu většina kalkulaček nedokáže v plném rozsahu zobrazit čísla vyšší jak 100⁵ a potom byste nebyli schopni zjistit poslední cifru.

Já a Mathcounts

Když jsem žil v Rusku (1.-5. třída, potom 8. třída), tak jsem se právě v 8. třídě poprvé setkal s Mathcounts. Mathcounts je americká matematická soutěž pro studenty šestých, sedmých a osmých tříd. V Evropě se jednou za rok koná obdoba amerického Mathcounts, která je pořádaná organizací CEESA (organizuje soutěže mezi mezinárodními školami v Evropě ve sportech a jiných věcech) a účastní se jí osm mezinárodních škol po celé Evropě.

Dvakrát týdně po 90 minutách jsme se připravovali na tuto soutěž. Vždy jsme dostali dva časově omezené testy s příklady z minulých ročníků Mathcounts. Výsledky se zapisovaly a někdy kolem Vánoc (to už jsme to dělali 3 měsíce) vyhlásili osm vítězů, kteří pojedou do Litvy (pozor, v angličtině to je Lithuania, ne Latvia) na evropskou olympiádu.

Protože naše škola (Anglo-American School of Moscow) je největší škola z celého CEESA seznamu, vyslali jsme (společně s např. pařížskou školou) dva týmy, které měly být přibližně stejné dobrý. V obou týmech bylo dohromady šest Korejců (ti jsou na matematiku nepřekonatelní), jeden můj americký kamarád a já. Následující měsíc se třída vyprázdnila a pravidelně tam chodilo jenom nás osm. V té době jsme se také učili všemožné zrychlovací metody a vzorce, učili jsme se nazpaměť dvojmocniny a trojmocniny atp.

Konečně jsme v únoru vyrazili do Litvy. Jako u každé CEESA-pořádané akce nás “hostovala” rodina jedné studentky té školy. Byli to Američani, kteří bydleli v Litvě.

Celkově byla tři klasická kola – Sprint Round (30 otázek, 40 min, bez kalkulačky, jednotlivě), Target Round (po 2 se rozdává celkově 8 příkladů, 6 min na každý pár otázek, s kalkulačkou, jednotlivě), Team Round (10 otázek, 20 min, s kalkulačkou, tým čtyř lidí).

Potom bylo také čtvrté a asi nejzajímavější kolo – Countdown Round. Zúčastnilo se ho pouze top 10 lidí (jenom podle Sprint a Target Roundu) a šlo o to, že vždy dva lidi, kteří jsou vedle sebe v pořadí, musejí co nejrychleji vyřešit příklad, který se promítá na zeď. Hraje se do tří bodů a výherce postupuje o příčku dál a utkává se s dalším soupeřem. Tím pádem se jde z 10. místa vypracovat klidně na první.

Já jsem celkově skončil na 10. místě, přičemž všichni Korejci na té soutěži (celkově osm) bylo v top 10. Tím pádem jsem byl 2. běloch. :) Jako škola jsme ale měli neuvěřitelný úspěch, sedm z osmi našich lidí bylo v top 10 a další školy se dělily o ty dvě zbylé místa.

Naše dva týmy proto obsadily 1. i 2. místo, 3. byl jeden tým pařížské školy (přičemž jejich druhý tým byl 7.).

Přijeli také litevští novináři, kteří fotili a dělali rozhovory s několika lidmi (třeba se mnou :). Na nějakým litevským zpravodajským webu jsem našel tuto zprávu (automaticky přeložené do češtiny).

 

K čemu to je, ta matika?

Poslední dobou se pořád stýkám s názorem, že matematika je k ničemu (např. zde). Proto jsem se rozhodl nad touto otázkou zamyslet a zpracovat to do článku.

Přirovnejme matematiku k běhání. Proč lidi běhají? Přece si nikdo nemyslí, že v praktickým životě využije, že dokáže uběhnout kilometr o pár desítek sekund rychleji než někdo jiný. Nejčastější motivace bývá to, že se lidi chtějí v této činnosti zlepšit, aby podali lepší výsledky, když se srovnávají s ostatními. Lidi však běhají také proto, že si chtějí zlepšit kondici, což už je v životě důležitý, abyste byli zdraví.

U matematiky je to podobné. Matika se na školách vyučuje, protože:

1. Stejně jako si běháním zatěžujete svaly, matematikou si namáháte mozek, tím pádem se zlepšujete v logickém a racionálním uvažování.
2. Jste potom lepší, když se srovnáváte s ostatními, např. v testu / v matematický olympiádě nebo když s někým řešíte nějaký hádanky, hlavolamy…
3. Pokud jste dobrý v matice, tak to o vás něco říká. Lidi dopředu vědí, že máte dobré schopnosti uvažovat a analyzovat. Osobně neznám nikoho, kdo by byl dobrý v matematice ale hloupý ve všem ostatním.

A tohle neplatí pouze o matematice a o běhání, ale o čemkoliv jiném. K čemu vám v životě bude, když budete umět nazpaměť Máj? Zlepšíte si paměť, můžete udělat dojem na ostatní a také to o vás říká, že nejspíš máte zájem o literaturu. Také to něco vypovídá o vaší vzdělanosti, protože čím hloupější je člověk, tím je menší šance, že bude umět nazpaměť Máj.

Co se týče názoru, že matiku by se měli učit jenom lidi, kteří ji budou potřebovat v práci (vědec, ekonom, bankéř, programatátor…), tak k tomu bych dodal, že dopředu nikdy nevíte, co v životě můžete dělat a je lepší vždy mít co nejvíce možností.

Jak rychle zjistit třetí odmocninu čísla od 1 do 1 milionu

Když už tedy umím počítat v hlavně druhé odmocniny, tak další logický krok jsou třetí odmocniny. Používá to stejnou metodu jako u druhých odmocnin.

x = trojmocnina od 1 do 1 000 000

y = odmocnina (tedy číslo od 1 do 100)

Tentokrát však tabulka vypadá takto:

	poslední cifra
03	0
13	1
23	8
33	7
43	4
53	5
63	6
73	3
83	2
93	9

Jak je vidět, tak tohle je lehčí než u dvojmocnin. Každá cifra má pouze jedno číslo, které ji může vytvořit, proto nemusíme nic odhadovat.

Taky může pro někoho být těžké v hlavě počítat trojmocniny desítek, proto radši uvedu ještě tuto tabulku:

y	y3 = x
10	1 000
20	8 000
30	27 000
40	64 000
50	125 000
60	216 000
70	343 000
80	512 000
90	729 000

Jak rychle zjistit odmocninu dvojmocniny od 1 do 10 tisíc

Když už tedy umím počítat dvojmocniny čísel, tak mě napadlo, že bych vyvinul i nějakou metodu, abych to dokázal naopak. Proto jsem začal přemýšlet nad tím, jak by to šlo udělat.

x = dvojmocnina od 1 do 10000

y = odmocnina (tedy číslo od 1 do 100)

Jako první se koukneme na x a určíme, mezi jakými dvěma desítkami y musí být. Např. odmocnina z 7569 je mezi 6400 a 8100, y tedy musí být mezi 80 a 90.

Jakmile známe desítky, stačí zjistit jednotky.

Tato metoda využívá toho, že podle poslední cifry x jde zjistit poslední cifra u čísla y.

	poslední cifra
02	0
12	1
22	4
32	9
42	6
52	5
62	6
72	9
82	4
92	1

Tato tabulka nám říká, že když x končí např. 9, y bude končit buďto 3 nebo 7. Také nám to říká, že dvojmocnina nikdy nemůže končit čísly 2, 3, 7 a 8, takže někdy můžete rychle vyloučit, že nějaké číslo je dvojmocnina.

Když zkombinujeme tyto dvě metody, tak můžeme vždycky určit, jaké dvě možnosti a a b to můžou být. Abyste tyto dvě možnosti rozlišili, použijte odhad.

Myslím si, že u všech ten odhad lze použít celkem spolehlivě kromě čísel, která končí na 6. U těchto čísel budou a a b velmi blízko u sebe (např. 34 a 36 nebo 94 a 96) a proto je těžké to správně odhadnout. U těchto čísel se mi osvědčilo rychle spočítat y² (jak se to dělá?) pro buď _4 či _6 a pokud to není ono, tak je to to druhé číslo. Abyste si tuto činnost urychlili, tak u všech čísel kromě párů 24, 26 a 74, 76 nemusíte počítat celou tu dvojmocninu y², stačí jenom desítky a jednotky a podle toho už rozlišíte, jestli to je ono či nikoliv. Páry 24, 26 a 74, 76 jsou však zrádný, protože:

24² = 576

26² = 676

74² = 5476

76² = 5776

Jak je vidět, tak nestačí spočítat pouze desítky a jednotky, protože podle toho y nezjistíte. U těchto čísel musíte buďto spočítat celé y² nebo si zapamatovat, kolik je 24² a 74² (nebo kolik je 26² a 76²).

Jak rychle zjistit mocninu celého čísla od 1 do 100 – těžší způsob

Toto je taková zajímavost, která se ovšem vztahuje s těžším způsobem mentálního mocněním čísla.

Na tento fakt jsme přišli s mým americkým kamarádem sami, když jsme byli na Mathcounts v Litvě. Dříve jsme si mysleli, že když jsme přišli na pravidelnost v sekvenci dvojmocnin, tak že jsme zároveň přišli na pravidelnost prvočísel (protože odmocnina všech čísel kromě dvojmocnin je iracionální – důkaz zde). To se nám sice nepodařilo, ale i tak jsou naše poznatky zajímavé.

Všimli jsme si, že rozdíly mezi dvojmocninami je posloupnost:

Dvojmocniny: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Rozdíly:            1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

Tento poznatek nám však také říká, že když máme seznam všech lichých čísel, tak u všech čísel bude platit, že když sečteme to číslo a všechny předchozí lichá čísla až k nule, dostaneme dvojmocninu. Tak schválně:

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

atd.

To nám také ukazuje, že u každé dvojmocniny se počet předešlých lichých čísel, které musíme sečíst rovná odmocnina z té dvojmocniny. Zjednodušeně řečeno, počet lichých čísel, jejichž součet dá 4 bude √4 = 2 a u 25 to bude √25 = 5.

Všimněte si také, že nejvyšší liché číslo = 2√y –1, kde y je libovolná dvojmocnina. No není to geniální? Tato teorie se ale pořád ještě dá rozšiřovat do takové podoby, aby to bylo použitelné při počítání dvojmocnin libovolného celého čísla od 1 do 100.

Dejme tomu, že chceme mentálně zjistit x². Dopředu víme, že x² se bude rovnat součtu všech lichých čísel od 1 do 2√x² –1. To se dá vždycky zjednodušit na:

2x – 1

Př. 71² bude tedy (2 * 71 – 1) + (2 * 71 – 1 – 2 (předchozí liché číslo)) + (2 * 71 – 1 – 4) + (2 * 71 – 1 – 6) atd.

To se rovná 141 + 139 + 137 + 135 … + 3 + 1.

Tohle by bylo velmi náročné počítat, proto to musíme nějak zjednodušit. Můj první nápad bylo spojit poslední číslo s prvním, předposlední s druhým atp. V příklad bychom tedy měli:

(141 + 1), (139 + 3), (137 + 5)… přičemž všechny z nich se rovnají 142. Protože víme, že počet lichých čísel bude 71, tak budeme mít 35 těchto párů. Pokud je x liché číslo (jako v tomto případě), tak budeme muset ještě přičíst prostřední liché číslo, které s žádným číslem nemůže mít vazbu. Prostřední liché číslo u lichého čísla x se bude vždy = x.

V tomto případě máme tedy (35 párů 142) + 71. Takže 71² = 35 * 142 + 71. To jsme však narazili, dále to touhle metodou nezjednodušíme. Já jsem se však nevzdal a začal jsem hledat jinou metodu, jak by řada 141 + 139 + 137 + 135 … + 3 + 1 šla zjednodušit.

Nakonec jsem na to přišel. Podle předchozích úsudků se bude 702 = 139 + 137 + 135 … + 1. Jenže my logicky víme, že 70² = 4900. Tím pádem bude řada 139 + 137 + 135 … + 1 = 4900. Rozdíl mezi 71² a 70² je tedy pouze v posledním lichém čísle – 141. 71² = 70² + 141 = 5041.

Tato metoda počítání zrychluje pouze pokud je x maximálně dvě čísla od jakékoliv desítky (tu desítku bude zastupovat proměnná z). Např. 74² je tedy už jednodušší počítat klasickým systémem než 70² + 141 + 143 + 145 + 147. Na druhou stranu tohle však můžete použít také na čísla, která jsou až dvě pod nějakou desítkou, např. 49² = 50² – 99.

Pojďme se tedy znovu podívat, jak tuto metodu rychle uplatnit. Máte číslo x (které je maximálně o dva od nějaké desítky z). Pokud je číslo nad desítkou, sečtete všechny lichá čísla mezi 2x a 2z a to přičtete k z². Pokud je číslo pod desítkou, sečtete všechny lichý čísla mezi 2x a 2z a to odečtete od z².

Tak, toto byly moje matematické výplody, když mi bylo 13. :)

Jak rychle zjistit mocninu celého čísla od 1 do 100 – jednodušší způsob

Toto je metoda, která dovoluje mentálně a rychle vypočítat druhou mocninu jakéhokoliv celého čísla od 1 do 100.

Musím vás předem upozornit, že tuto metodu nezvládne každý. O moc to nezjednodušuje, proto to pořád bude především o vaší schopnosti se koncentrovat a pamatovat si mezivýpočty. Zpočátku si to ulehčete napsání si čísla na papír, protože se někdy stane, že v zápalu počítání zapomenete původní číslo. :) Pokud to však budete dělat často a ohromovat své kamarády a příbuzenstvo, budete se zdokonalovat a počet chyb a doba výpočtu budou nižší.

Jednodušší postup - teorie

Metoda ukážu na příkladu – dejme tomu číslo 82. Číslo si rozdělíme na desítky a jednotky:

(80 + 2)²

Někteří už vědí, jak dvojmocniny takovýchto závorek počítat rychlým způsobem, pro jistotu to radši vysvětlím. Pokud chcete zjistit (x + y)², bude se to vždy rovnat x² + y² + 2xy. Toto pravidlo platí úplně vždycky, můžete tímto například spočítat:

(ab² + 2b⁴)² = a²b⁴ + 4b⁸ + 4ab⁶

 

Jednodušší postup – praxe

Tím pádem

(80 + 2)² = 6400 + 4 + 320 = 6724

Mě osobně více vyhovuje to dělat v pořadí 2xy + y² + x².

Je to úplně jednoduchý:

1. Vynásobit první cifru druhou cifrou, vynásobit dvěma a přidat nulu na konec.

2. K tomu přičíst druhou mocninu poslední cifry.

3. K tomu přičíst mocninu první cifry * 100.

Matematické knihy

Tady jsou moje pocity o čtyřech matematických knihách, který mi učitel zadal přečíst přes léto (abych měl dostatečný znalosti na to, aby mě mohl učit matematiku z vyššího ročníku). Budou tu v pořadí, ve kterém jsem se četl. Všechny knížky jsou v angličtině, protože chodím na anglickou školu (The English College in Prague).

The Golden Ratio

Tato kniha je podle mě 2. nejlepší ze všech. Pojednává o zlatém řezu, což je konstanta (podobně jako π) rovná přibližně 1,618 a která se nečekaně objevuje úplně všude, ať je to příroda, umění, geometrie, numerické sekvence, pravděpodobnost… Toto téma minimálně mě přijde velmi atraktivní. Na konci knihy je soubor zajímavostí, na které autor odkazuje v textu a které tolik nesouvisí s tématem. Díky tomu se např. dozvíme důkaz pythagorovy věty či důkaz, že existuje nekonečno prvočísel.

The Music of the Primes

Tato kniha obsadila 3. místo na mém pomyslném žebříčku. Je tam velmi málo vedlejších zajímavostí a skoro celá kniha se obsahuje pouze historii prvočísel. Navíc rovnice, které se tam objevili, jsou hodně komplikované. Na druhou stranu tato kniha dává velmi dobrý přehled o historii matematiky. Kniha vypráví příběhy jmen jako Gauss, Dirichlet, Euler, Riemann, Hilbert, Wiles, Selberg apod.

Fermat's Last Theorem

Tato kniha pojednává o Velké Fermatově větě. Mluví se tu hlavně o dvou lidech – Fermat a Andrew Wiles, což je matematik, který v roce 1994 tuto větu dokázal. Tato kniha mi přišla jako nejlepší ze všech, protože zároveň je zábavné číst, jak Wiles zápasit s tak jednoduchým příkladem a také je tu mnoho vedlejších zajímavostí.

The Story of "i"

Abych se přiznal, tak jsem přečetl asi prvních 20 stránek této knihy. Pak jsem zjistil, že by možná bylo lepší, kdybych ji zatím odložil. Neporozuměl jsem ani jedné rovnici. Opravdu, tato kniha je velmi náročná, přečtu si ji za několik let.

Důkaz, že 1=0!

Toto je série algebraických kroků, po které dosáhneme výsledku 1=0. Váš úkol je najít, v jakém kroku je chyba a proč. Správná odpověď je vysvětlena dole, takže na to první zkuste přijít sami.

a = b = 1

a² = ab

a² – b² = ab – b²

(a – b)(a + b) = b(a – b)

a + b = b

a = 0

1 = 0

 

Nápověda

Na stejném principu funguje i tato rovnice:

a = b

a² = ab

a² – b² = ab – b²

(a – b)(a + b) = b(a – b)

a + b = b

b + b = b

1 + 1 = 1

2 = 1

 

Odpověď

Problém je v kroku, kdy celou rovnici dělíte (a – b). Vzhledem k tomu, že a = b, tak a – b = 0, takže se snažíte dělit nulou. V tom kroku teda prakticky máte (a + b) * 0 = b * 0 aneb 2 * 0 = 1 * 0. Toto je samozřejmě správně, ale nemůžeme vydělit nulou a získat 2 = 1, protože tím dojde k rozporu. Toto je velmi dobrý důkaz, proč se nikdy nesmí dělit nulou.

Celá rovnice by teoreticky šla napsat pouze v jedné proměnné, ale to bychom v tom kritickém kroku dělili (a – a), což je mnohem průhlednější. Jsou tu tedy dvě proměnné, protože člověk si to neuvědomí tak lehce.

Důkaz, že všechna čísla kromě druhých mocnin jsou iracionální

Tento důkaz používá metodu zvanou (latinsky) reductio ad absurdum. To znamená, že v případě, kdy máte pouze dvě volné možnosti – že tato čísla jsou buďto racionální, nebo iracionální, tak můžete dokázat, že jedno z těchto tvrzení není pravdivé, a tím pádem bude pravdivé to druhé.

Příklad budu provádět na √2, ale platí to stejně pro všechny čísla kromě druhých mocnin.

Zpočátku tedy usoudíme, že √2 je racionální a nakonec dojdeme k rozporu. Jestliže je racionální, může být vyjádřena jako poměr (zlomek) dvou nesoudělných celých čísel (čísla, která mají pouze jednoho společného dělitele – 1, takže maximálně jedno z nich je sudé) a a b. Platí tedy, že:

√2 = a/b

2 = a²/b²

2b² = a²

Všimněte si, že 2b² musí být sudé číslo a jelikož se to také rovná a², a² musí také být sudé číslo. A jestliže a² je sudé, a musí také být sudé. Vzhledem k tomu, že a a b jsou nesoudělná čísla, maximálně jedno z nich může být sudé, takže b je liché číslo. Jestliže a je sudé, lze ho napsat jako:

a = 2r

Toto dosadíme do předešlé rovnice:

2b² = (2r)²

4r² = 2b²

2r² = b²

Stačí používat stejné argumenty jako předtím a dojdeme k tomu, že 2r² je sudé, tím pádem b² je sudé, a tím pádem b je sudé. Předtím jsme ale dokázali, že b musí být liché (protože a je sudé a a a b jsou nesoudělná čísla). Narazili jsme tedy na logický rozpor, proto naše počáteční tvrzení, že √2 je racionální číslo, není pravdivé, takže musí být iracionální.

Touto metodou jde dokázat, že jakékoliv celé přirozené číslo, které není dvojmocnina – např. 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10… je iracionální.

Vzorec na Pythagorovy trojice

Zde je vzorec, jak s libovolným číslem m a n vypočítat tři Pythagorovy trojice, jestliže m a n jsou celá přirozená čísla a m > n.

a = 2mn

b =  m² – n²

c = m² + n²

Tento vzorec nalezne všechny zjednodušené trojice (např. 3, 4, 5), ale ne všechny trojice. Výsledek bude zjednodušení trojice pouze pokud m a n jsou nesoudělná čísla a pouze jeden z nich je lichý.

Zde ještě vysvětlím důkaz, proč tento vzorec funguje. Chceme si ověřit, že a² + b² = c²

a² = (2mn)² = 4m²n²

b² = (m² – n²)² = m⁴ + n⁴ – 2m²n²

a² + b² = 4m²n² + m⁴ + n⁴ – 2m²n² = m⁴ + n⁴ + 2m²n²

c² = (m² + n²)² = m⁴ + n⁴ + 2m²n²

a² + b² = c²

Důkazy Pythagorovy věty – podobné trojúhelníky

  Všichni znají magická písmenka a² + b² = c², ale málo kdo ví aspoň jeden důkaz, proč tato rovnice funguje. Zde je vysvětlení jednoho z důkazů.

V pravoúhlém trojúhelníku (<ACB = 90˚) nakreslíme výšku k úsečce c. <ADC a <CDB jsou tedy pravoúhlé. Jelikož trojúhelník ADC se trojúhelníkem ABC sdílí <CAB a oba dva mají pravý úhel, mají oba dva tři úhly o stejné velikosti a jsou si tedy podobné. To stejné platí i o trojúhelníku CDB (který s trojúhelníkem ABC sdílí <DBC).

Z této podobnosti těchto tří trojúhelníků vyplývají dvě rovnice:

1) a/c = c-d/a

2) b/c = d/b

Tyto dvě rovnice můžeme zjednodušit na:

1) a² = c² – cd

2) b² = cd

A když tyto dvě rovnice sečteme, získáme:

a² + b² = c² –cd + cd

Aneb:

a² + b² = c²

Konverze z periodického desetinného čísla na zlomek

Napsat periodické desetinné číslo ze zlomku umí každý, stačí pouze vydělit nebo to naťukat do kalkulačky. Málo lidí ale umí zjistit zlomek, pokud jste dostali desetinné číslo. Tady je návod jak na to:

 

Jednodušší případ

Jednodušší případ znamená zlomek, který má pouze periodickou část. Patří sem tedy zlomky 0,666p; 0,659659659p apod., ale nepatří sem např. 0,9222p

Začneme s jedním opakujícím desetinném místě, jako např. v čísle 0,222p.

Př.

x = 0,222p

10x = 2,222p

10x – x = 2,222p – 0,222p

9x = 2

x = 2/9

 

Pokud dostanete číslo s dvěmi opakujícími se desetinnými čísli, např. 0,565656p, akorát ve druhém kroku x vynásobte 100 a potom odečtete x. Dostanete tedy 99x = 56.

 

Vzorec pro jednodušší případ

Vzorec tedy vypadá takto:

x = perioda/jedna 9 za každé číslo v periodě

Př.

x = 0,333p

x = 333/999 = 1/3

 

Těžší případ

Těžší případ zahrnuje i zlomek, který za desetinnou čárkou obsahuje před periodickou částí ještě pár číslic, např. 0,7444p.

Př.

x = 0,7444p

100x = 74,444p

10x = 7,444p

100x – 10x = 74,444p – 7,444p

90x = 67

x = 67/90

V těžším případě musíte nejprve dostat dva násobky čísla x, oba dva se stejnou desetinnou částí (v příkladě je to 74,444p a 7,444p). Toho docílíte tak, že x vynásobíte správnou mocninou 10 (v tomto případě 100 (10²) a 10 (10¹)).

Př.

x = 0,7024767676p

1 000 000x = 702 476,767676p

10 000x = 7024,767676p

1 000 000x – 10 000x = 702 476,767676p – 7024,767676p

990 000x = 695 452

x = 695 452/990 000

 

Vzorec pro těžší případ

Vzorec je tedy takto:

x = (10^yx - 10^zx)/(10^y - 10^z)

kde y = počet číslic před periodou + počet číslic v periodě

z = počet číslic v periodě

Př.

x = 0,65333p

x = (10⁵ * 0,65333p - 10³ * 0,65333p)/(10⁵ - 10³)

x = 64 680/99 000

 

Pak u všech příkladů akorát stačí zlomek zkrátit a máte to.

0,99p = 1

Mnoho lidí žije v přesvědčení, že 0,999p (0,999999… periodických) se přibližně stejné jako 1. Většina lidí, s kterými jsem mluvil, si myslí, že 0,999p nikdy 1 nedosáhne a je tedy o něco menší. Tady jsou však dva důkazy (mimochodem dalších šest je na Wikipedii), proč je to přesně rovné.

První metoda

x = 0,999p

10x = 9,999p

10x – x = 9,999p – 0,999p

9x = 9

x = 1

0,999p = 1

 

Druhá metoda

1/9 = 0,111p

(1*9)/9 = 9*0,111p

9/9 = 0,999p

1 = 0,999p

O Jedna23

Poprvé jsem dostal nápad založit blog o matematice když jsem četl knihu The Golden Ratio od Maria Livia (Mario Livio). Tam jsem narazil na tolik zajímavých důkazů a teorií, že jsem se i po přečtení ke knize vracel a znova si je pročítal, abych si je zapamatoval a mohl je později vysvětlit lidem, kteří o podobné věci mají zájem. Nakonec mě napadlo, že nejefektivnější by bylo založit samostatný blog, kam bych tyto zajímavosti psal. Přináší to mnoho výhod – nemusím to vysvětlovat každému zvlášť, sám jsem si jistý, že tomu správně rozumím a můžu se k tomu kdykoliv jednoduše vrátit, aniž bych to musel znova hledat v knihách.

Tento blog je určený pro velmi malou skupinku lidí, z nichž většina budou lidi, které znám osobně. Nebudu usilovat o co nejvíce návštěvníků, sledujících atd. tak jak tomu je u Skilltime. Jedna23 je moje pískoviště, kde budu uschovávat svoje postřehy.

Co se týče frekvence přispívání, tak na Jedna23 napíšu příspěvek vždy, když narazím na něco zajímavého, tzn., že nemám pevně danou frekvenci. Zpočátku mám ale hromadu námětů na články a tak to budu dávkovat (cca jeden článek za pár dní), aby to dlouho vydrželo.

Jelikož je mi teprve 15, neříkám, že někde omylem neudělám chybu. V tom případě vás prosím, abyste na to (slušně) upozornili do komentářů a já se nad tím mohl ještě jednou zamyslet. Na druhou stranu doufám, že tohle se nebude stávat často, jelikož většina důkazů zde budou pocházet z knih, ze školy nebo z internetu.

Také již šest let studuju na mezinárodní škole, takže matematickou terminologii znám hlavně v angličtině, proto odpusťte, když někde něco nebudu umět v češtině nazvat tak, jak se tomu má říkat.

Co se týče znamének, tak ty budou takto:

* = krát

/ = děleno

p = periodických (např. 0,33p = 0,33 periodických)

Periodické části desetinných čísel budou vždy zopakované třikrát. Je tedy rozdíl mezi 0,8666p a 0,868686p.

Tak a jdu se pustit do prvního článku. :P