Důkazy Pythagorovy věty – podobné trojúhelníky

  Všichni znají magická písmenka a² + b² = c², ale málo kdo ví aspoň jeden důkaz, proč tato rovnice funguje. Zde je vysvětlení jednoho z důkazů.

V pravoúhlém trojúhelníku (<ACB = 90˚) nakreslíme výšku k úsečce c. <ADC a <CDB jsou tedy pravoúhlé. Jelikož trojúhelník ADC se trojúhelníkem ABC sdílí <CAB a oba dva mají pravý úhel, mají oba dva tři úhly o stejné velikosti a jsou si tedy podobné. To stejné platí i o trojúhelníku CDB (který s trojúhelníkem ABC sdílí <DBC).

Z této podobnosti těchto tří trojúhelníků vyplývají dvě rovnice:

1) a/c = c-d/a

2) b/c = d/b

Tyto dvě rovnice můžeme zjednodušit na:

1) a² = c² – cd

2) b² = cd

A když tyto dvě rovnice sečteme, získáme:

a² + b² = c² –cd + cd

Aneb:

a² + b² = c²