Vzorec na Pythagorovy trojice

Zde je vzorec, jak s libovolným číslem m a n vypočítat tři Pythagorovy trojice, jestliže m a n jsou celá přirozená čísla a m > n.

a = 2mn

b =  m² – n²

c = m² + n²

Tento vzorec nalezne všechny zjednodušené trojice (např. 3, 4, 5), ale ne všechny trojice. Výsledek bude zjednodušení trojice pouze pokud m a n jsou nesoudělná čísla a pouze jeden z nich je lichý.

Zde ještě vysvětlím důkaz, proč tento vzorec funguje. Chceme si ověřit, že a² + b² = c²

a² = (2mn)² = 4m²n²

b² = (m² – n²)² = m⁴ + n⁴ – 2m²n²

a² + b² = 4m²n² + m⁴ + n⁴ – 2m²n² = m⁴ + n⁴ + 2m²n²

c² = (m² + n²)² = m⁴ + n⁴ + 2m²n²

a² + b² = c²