Důkaz, že 1=0!

Toto je série algebraických kroků, po které dosáhneme výsledku 1=0. Váš úkol je najít, v jakém kroku je chyba a proč. Správná odpověď je vysvětlena dole, takže na to první zkuste přijít sami.

a = b = 1

a² = ab

a² – b² = ab – b²

(a – b)(a + b) = b(a – b)

a + b = b

a = 0

1 = 0

 

Nápověda

Na stejném principu funguje i tato rovnice:

a = b

a² = ab

a² – b² = ab – b²

(a – b)(a + b) = b(a – b)

a + b = b

b + b = b

1 + 1 = 1

2 = 1

 

Odpověď

Problém je v kroku, kdy celou rovnici dělíte (a – b). Vzhledem k tomu, že a = b, tak a – b = 0, takže se snažíte dělit nulou. V tom kroku teda prakticky máte (a + b) * 0 = b * 0 aneb 2 * 0 = 1 * 0. Toto je samozřejmě správně, ale nemůžeme vydělit nulou a získat 2 = 1, protože tím dojde k rozporu. Toto je velmi dobrý důkaz, proč se nikdy nesmí dělit nulou.

Celá rovnice by teoreticky šla napsat pouze v jedné proměnné, ale to bychom v tom kritickém kroku dělili (a – a), což je mnohem průhlednější. Jsou tu tedy dvě proměnné, protože člověk si to neuvědomí tak lehce.

Důkaz, že všechna čísla kromě druhých mocnin jsou iracionální

Tento důkaz používá metodu zvanou (latinsky) reductio ad absurdum. To znamená, že v případě, kdy máte pouze dvě volné možnosti – že tato čísla jsou buďto racionální, nebo iracionální, tak můžete dokázat, že jedno z těchto tvrzení není pravdivé, a tím pádem bude pravdivé to druhé.

Příklad budu provádět na √2, ale platí to stejně pro všechny čísla kromě druhých mocnin.

Zpočátku tedy usoudíme, že √2 je racionální a nakonec dojdeme k rozporu. Jestliže je racionální, může být vyjádřena jako poměr (zlomek) dvou nesoudělných celých čísel (čísla, která mají pouze jednoho společného dělitele – 1, takže maximálně jedno z nich je sudé) a a b. Platí tedy, že:

√2 = a/b

2 = a²/b²

2b² = a²

Všimněte si, že 2b² musí být sudé číslo a jelikož se to také rovná a², a² musí také být sudé číslo. A jestliže a² je sudé, a musí také být sudé. Vzhledem k tomu, že a a b jsou nesoudělná čísla, maximálně jedno z nich může být sudé, takže b je liché číslo. Jestliže a je sudé, lze ho napsat jako:

a = 2r

Toto dosadíme do předešlé rovnice:

2b² = (2r)²

4r² = 2b²

2r² = b²

Stačí používat stejné argumenty jako předtím a dojdeme k tomu, že 2r² je sudé, tím pádem b² je sudé, a tím pádem b je sudé. Předtím jsme ale dokázali, že b musí být liché (protože a je sudé a a a b jsou nesoudělná čísla). Narazili jsme tedy na logický rozpor, proto naše počáteční tvrzení, že √2 je racionální číslo, není pravdivé, takže musí být iracionální.

Touto metodou jde dokázat, že jakékoliv celé přirozené číslo, které není dvojmocnina – např. 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10… je iracionální.

Vzorec na Pythagorovy trojice

Zde je vzorec, jak s libovolným číslem m a n vypočítat tři Pythagorovy trojice, jestliže m a n jsou celá přirozená čísla a m > n.

a = 2mn

b =  m² – n²

c = m² + n²

Tento vzorec nalezne všechny zjednodušené trojice (např. 3, 4, 5), ale ne všechny trojice. Výsledek bude zjednodušení trojice pouze pokud m a n jsou nesoudělná čísla a pouze jeden z nich je lichý.

Zde ještě vysvětlím důkaz, proč tento vzorec funguje. Chceme si ověřit, že a² + b² = c²

a² = (2mn)² = 4m²n²

b² = (m² – n²)² = m⁴ + n⁴ – 2m²n²

a² + b² = 4m²n² + m⁴ + n⁴ – 2m²n² = m⁴ + n⁴ + 2m²n²

c² = (m² + n²)² = m⁴ + n⁴ + 2m²n²

a² + b² = c²

Důkazy Pythagorovy věty – podobné trojúhelníky

  Všichni znají magická písmenka a² + b² = c², ale málo kdo ví aspoň jeden důkaz, proč tato rovnice funguje. Zde je vysvětlení jednoho z důkazů.

V pravoúhlém trojúhelníku (<ACB = 90˚) nakreslíme výšku k úsečce c. <ADC a <CDB jsou tedy pravoúhlé. Jelikož trojúhelník ADC se trojúhelníkem ABC sdílí <CAB a oba dva mají pravý úhel, mají oba dva tři úhly o stejné velikosti a jsou si tedy podobné. To stejné platí i o trojúhelníku CDB (který s trojúhelníkem ABC sdílí <DBC).

Z této podobnosti těchto tří trojúhelníků vyplývají dvě rovnice:

1) a/c = c-d/a

2) b/c = d/b

Tyto dvě rovnice můžeme zjednodušit na:

1) a² = c² – cd

2) b² = cd

A když tyto dvě rovnice sečteme, získáme:

a² + b² = c² –cd + cd

Aneb:

a² + b² = c²

Konverze z periodického desetinného čísla na zlomek

Napsat periodické desetinné číslo ze zlomku umí každý, stačí pouze vydělit nebo to naťukat do kalkulačky. Málo lidí ale umí zjistit zlomek, pokud jste dostali desetinné číslo. Tady je návod jak na to:

 

Jednodušší případ

Jednodušší případ znamená zlomek, který má pouze periodickou část. Patří sem tedy zlomky 0,666p; 0,659659659p apod., ale nepatří sem např. 0,9222p

Začneme s jedním opakujícím desetinném místě, jako např. v čísle 0,222p.

Př.

x = 0,222p

10x = 2,222p

10x – x = 2,222p – 0,222p

9x = 2

x = 2/9

 

Pokud dostanete číslo s dvěmi opakujícími se desetinnými čísli, např. 0,565656p, akorát ve druhém kroku x vynásobte 100 a potom odečtete x. Dostanete tedy 99x = 56.

 

Vzorec pro jednodušší případ

Vzorec tedy vypadá takto:

x = perioda/jedna 9 za každé číslo v periodě

Př.

x = 0,333p

x = 333/999 = 1/3

 

Těžší případ

Těžší případ zahrnuje i zlomek, který za desetinnou čárkou obsahuje před periodickou částí ještě pár číslic, např. 0,7444p.

Př.

x = 0,7444p

100x = 74,444p

10x = 7,444p

100x – 10x = 74,444p – 7,444p

90x = 67

x = 67/90

V těžším případě musíte nejprve dostat dva násobky čísla x, oba dva se stejnou desetinnou částí (v příkladě je to 74,444p a 7,444p). Toho docílíte tak, že x vynásobíte správnou mocninou 10 (v tomto případě 100 (10²) a 10 (10¹)).

Př.

x = 0,7024767676p

1 000 000x = 702 476,767676p

10 000x = 7024,767676p

1 000 000x – 10 000x = 702 476,767676p – 7024,767676p

990 000x = 695 452

x = 695 452/990 000

 

Vzorec pro těžší případ

Vzorec je tedy takto:

x = (10^yx - 10^zx)/(10^y - 10^z)

kde y = počet číslic před periodou + počet číslic v periodě

z = počet číslic v periodě

Př.

x = 0,65333p

x = (10⁵ * 0,65333p - 10³ * 0,65333p)/(10⁵ - 10³)

x = 64 680/99 000

 

Pak u všech příkladů akorát stačí zlomek zkrátit a máte to.

0,99p = 1

Mnoho lidí žije v přesvědčení, že 0,999p (0,999999… periodických) se přibližně stejné jako 1. Většina lidí, s kterými jsem mluvil, si myslí, že 0,999p nikdy 1 nedosáhne a je tedy o něco menší. Tady jsou však dva důkazy (mimochodem dalších šest je na Wikipedii), proč je to přesně rovné.

První metoda

x = 0,999p

10x = 9,999p

10x – x = 9,999p – 0,999p

9x = 9

x = 1

0,999p = 1

 

Druhá metoda

1/9 = 0,111p

(1*9)/9 = 9*0,111p

9/9 = 0,999p

1 = 0,999p

O Jedna23

Poprvé jsem dostal nápad založit blog o matematice když jsem četl knihu The Golden Ratio od Maria Livia (Mario Livio). Tam jsem narazil na tolik zajímavých důkazů a teorií, že jsem se i po přečtení ke knize vracel a znova si je pročítal, abych si je zapamatoval a mohl je později vysvětlit lidem, kteří o podobné věci mají zájem. Nakonec mě napadlo, že nejefektivnější by bylo založit samostatný blog, kam bych tyto zajímavosti psal. Přináší to mnoho výhod – nemusím to vysvětlovat každému zvlášť, sám jsem si jistý, že tomu správně rozumím a můžu se k tomu kdykoliv jednoduše vrátit, aniž bych to musel znova hledat v knihách.

Tento blog je určený pro velmi malou skupinku lidí, z nichž většina budou lidi, které znám osobně. Nebudu usilovat o co nejvíce návštěvníků, sledujících atd. tak jak tomu je u Skilltime. Jedna23 je moje pískoviště, kde budu uschovávat svoje postřehy.

Co se týče frekvence přispívání, tak na Jedna23 napíšu příspěvek vždy, když narazím na něco zajímavého, tzn., že nemám pevně danou frekvenci. Zpočátku mám ale hromadu námětů na články a tak to budu dávkovat (cca jeden článek za pár dní), aby to dlouho vydrželo.

Jelikož je mi teprve 15, neříkám, že někde omylem neudělám chybu. V tom případě vás prosím, abyste na to (slušně) upozornili do komentářů a já se nad tím mohl ještě jednou zamyslet. Na druhou stranu doufám, že tohle se nebude stávat často, jelikož většina důkazů zde budou pocházet z knih, ze školy nebo z internetu.

Také již šest let studuju na mezinárodní škole, takže matematickou terminologii znám hlavně v angličtině, proto odpusťte, když někde něco nebudu umět v češtině nazvat tak, jak se tomu má říkat.

Co se týče znamének, tak ty budou takto:

* = krát

/ = děleno

p = periodických (např. 0,33p = 0,33 periodických)

Periodické části desetinných čísel budou vždy zopakované třikrát. Je tedy rozdíl mezi 0,8666p a 0,868686p.

Tak a jdu se pustit do prvního článku. :P