Důkaz, že všechna čísla kromě druhých mocnin jsou iracionální

Tento důkaz používá metodu zvanou (latinsky) reductio ad absurdum. To znamená, že v případě, kdy máte pouze dvě volné možnosti – že tato čísla jsou buďto racionální, nebo iracionální, tak můžete dokázat, že jedno z těchto tvrzení není pravdivé, a tím pádem bude pravdivé to druhé.

Příklad budu provádět na √2, ale platí to stejně pro všechny čísla kromě druhých mocnin.

Zpočátku tedy usoudíme, že √2 je racionální a nakonec dojdeme k rozporu. Jestliže je racionální, může být vyjádřena jako poměr (zlomek) dvou nesoudělných celých čísel (čísla, která mají pouze jednoho společného dělitele – 1, takže maximálně jedno z nich je sudé) a a b. Platí tedy, že:

√2 = a/b

2 = a²/b²

2b² = a²

Všimněte si, že 2b² musí být sudé číslo a jelikož se to také rovná a², a² musí také být sudé číslo. A jestliže a² je sudé, a musí také být sudé. Vzhledem k tomu, že a a b jsou nesoudělná čísla, maximálně jedno z nich může být sudé, takže b je liché číslo. Jestliže a je sudé, lze ho napsat jako:

a = 2r

Toto dosadíme do předešlé rovnice:

2b² = (2r)²

4r² = 2b²

2r² = b²

Stačí používat stejné argumenty jako předtím a dojdeme k tomu, že 2r² je sudé, tím pádem b² je sudé, a tím pádem b je sudé. Předtím jsme ale dokázali, že b musí být liché (protože a je sudé a a a b jsou nesoudělná čísla). Narazili jsme tedy na logický rozpor, proto naše počáteční tvrzení, že √2 je racionální číslo, není pravdivé, takže musí být iracionální.

Touto metodou jde dokázat, že jakékoliv celé přirozené číslo, které není dvojmocnina – např. 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10… je iracionální.