SKACE: 0,999… = 1

Pozn.: Nešel mi vložit komentář u článku SKACEho (kvůli neplatným tagům), proto to dávám sem.

 

Kobi: Přesně tak, jak jsem psal, je to dokázaný již mnoho mnoho let a jestli se ti to SKACi podaří vyvrátit, tak budeš slavnej a prachatej. A to ty přece chceš ne? Jak se mi ale zdá, tak se ti to nepodaří.

Tak. Konečně mám dostatek prostoru pro plnohodnotný důkaz a nemusím se to snažit nacpat do 140 znaků. :)

Máme geometrickou posloupnost: a + ar + ar² + ar³ ...

Vidíme, že n-tý člen bude: ar^n-1

Tím pádem bude suma n-tého členu:

S_n = a + ar + ar² + ... + ar^n-2 + ar^n-1

vynásobíme obě dvě strany r:

rS_n = ar + ar² + ar³ + ... + ar^n-1 + arⁿ

od toho odečteme předchozí posloupnost: S_n - rS_n = a – arⁿ

tím pádem: S_n(1 - r) = a(1 - rⁿ)

tím pádem: S_n = (a(1 - rⁿ))/(1 - r)

jestliže: |r| < 1 (této řadě se říká konvergentní)

pak čím vyšší bude n, tím blíže bude rⁿ nule.

V limitu r -> 0 když n –> ∞.

Proto bude v limitu n -> ∞ platit, že: S_n = (a(1 - 0)/(1 - r)

takže: S_n = a/(1 - r)

Nám dá sumu pro n -> ∞ libovolné geometrické posloupnosti, kde a je první člen a r je pravidelnost v řadě.

Jestliže tedy máme periodu 0,999..., lze zapsat jako:

0,9 + 0,009 + 0,0009...

což lze zapsat jako: 0,9 + 0,9(1/10) + 0,9(1/10)^2 + 0,9(1/10)^3...

Vzhledem k tomu, že r = 1/10 < 1, je toto konvergentní řada, takže její suma bude:

S_n = a/(1 - r)

a = 0,9

r = 1/10

Dosadíme a vyjde nám:

0,9/(1 - 1/10) = 0,9/0,9 = 1

Suma té řady = 1, na začátku jsme si ale stanovili, že se bude = 0,999... Proto: 0,999... = 1