SKACE: 0,999… = 1

Pozn.: Nešel mi vložit komentář u článku SKACEho (kvůli neplatným tagům), proto to dávám sem.

 

Kobi: Přesně tak, jak jsem psal, je to dokázaný již mnoho mnoho let a jestli se ti to SKACi podaří vyvrátit, tak budeš slavnej a prachatej. A to ty přece chceš ne? Jak se mi ale zdá, tak se ti to nepodaří.

Tak. Konečně mám dostatek prostoru pro plnohodnotný důkaz a nemusím se to snažit nacpat do 140 znaků. :)

Máme geometrickou posloupnost: a + ar + ar² + ar³ ...

Vidíme, že n-tý člen bude: ar^n-1

Tím pádem bude suma n-tého členu:

S_n = a + ar + ar² + ... + ar^n-2 + ar^n-1

vynásobíme obě dvě strany r:

rS_n = ar + ar² + ar³ + ... + ar^n-1 + arⁿ

od toho odečteme předchozí posloupnost: S_n - rS_n = a – arⁿ

tím pádem: S_n(1 - r) = a(1 - rⁿ)

tím pádem: S_n = (a(1 - rⁿ))/(1 - r)

jestliže: |r| < 1 (této řadě se říká konvergentní)

pak čím vyšší bude n, tím blíže bude rⁿ nule.

V limitu r -> 0 když n –> ∞.

Proto bude v limitu n -> ∞ platit, že: S_n = (a(1 - 0)/(1 - r)

takže: S_n = a/(1 - r)

Nám dá sumu pro n -> ∞ libovolné geometrické posloupnosti, kde a je první člen a r je pravidelnost v řadě.

Jestliže tedy máme periodu 0,999..., lze zapsat jako:

0,9 + 0,009 + 0,0009...

což lze zapsat jako: 0,9 + 0,9(1/10) + 0,9(1/10)^2 + 0,9(1/10)^3...

Vzhledem k tomu, že r = 1/10 < 1, je toto konvergentní řada, takže její suma bude:

S_n = a/(1 - r)

a = 0,9

r = 1/10

Dosadíme a vyjde nám:

0,9/(1 - 1/10) = 0,9/0,9 = 1

Suma té řady = 1, na začátku jsme si ale stanovili, že se bude = 0,999... Proto: 0,999... = 1

Zjištění funkce z výsledků

Protože ve třídě zrovna probíráme grafy funkcí, zeptal jsem kamarád, jestli bych dokázal z výsledků nějaké funkce zjistit tu funkci. Začal jsem nad tím přemýšlet a zde jsou moje dosavadní poznatky.

Touto metodou zjistíte jakoukoliv polynomiální funkci, tzn. funkci ve tvaru:

f(x) = a_nxⁿ + b_n-1x^n-1 + c_n-2x^n-2 + d_n-3x^n-3 + ... + a₁x + a₀

neboli, zjednodušeně:

f(x) = a + bx + cx² + dx³ + ex⁴...

Např. tato funkce:

f(x) = 3x³ – 2x² + 5

Tato metoda využívá tohoto faktu:

Jestliže máme řadu výsledků pro nějakou polynomiální funkci, tak podle rozdílů mezi sousedními členy můžeme zjistit, jaká je nejvyšší mocnina této funkce a jaký má koeficient (zjistíme tedy proměnnou a).

 

Př. napišme výsledky funkce y = 3x³ – 2x² + 5:

x	1	2	3	4	5	6
y	6	21	68	165	330	581
a		15	47	97	165	251
b			32	50	68	86
c				18	18	18

a = rozdíl mezi y a předchozím y (první údaj je tedy 21 – 6 = 15, druhý je 68 – 21 = 47)

b = rozdíl mezi a a předchozím a (první údaj je tedy 47 - 15 = 32, druhý je 97 - 47 = 50)

c = rozdíl mezi b a předchozím b (první údaj je tedy 50 - 32 = 18, druhý je 68 – 50 = 18)

Pravidlo je takové, že když se nějaké číslo začne opakovat (nazveme ho o, v tomto případě tedy o = 18) už u y, v rovnici nebude ani jednou proměnná x (rovnice tedy bude y = a). Jestliže se číslo začne opakovat v řádku a, nejvyšší mocnina proměnné x bude x¹ (rovnice tedy bude y = ax + b). Jestliže se číslo začne opakovat u řádku b, nejvyšší mocnina bude x² (a rovnice bude vypadat y = ax² + bx + c), jestliže u řádku c (jako v tomto případě), nejvyšší může být x³. Zjistili jsme tedy, že vzorec této polynomiální funkce bude y = ax³ + bx² + cx + d, protože vyšší mocnina než x³ tu být nemůže.

To však není všechno. O nám zároveň řekne koeficient před nejvyšší mocninou, tedy proměnnou a. Koukněte se na tuto tabulku:

Nejvyšší mocnina x	m
x0	1
x1	1
x2	2
x3	6
x4	24
x5	120
x6	720

Vždy platí, že a = o / m (m zjistíte z výše uvedené tabulky podle nejvyšší mocniny x, což zjistíte podle toho, v jakém řádku se o začne opakovat).

Jestliže se v minulém příkladě o = 18, tak a = 18 / 6 = 3, takže zatím víme, že vzorec naší funkce bude y = 3x³ + bx² + cx + d.

Všimněte si, že m = (nejvyšší mocnina x)! (! je operace zvaná faktoriál a rovná se součinu všech kladných celých čísel od toho čísla až do 1.) Když např. máte nejvyšší mocninu x4, tak m = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24. Proto si tuto tabulku nemusíte pamatovat, stačí si to vždycky odvodit. Pozn.: 0! = 1

Teď odečteme prví člen, 3x³, od každého bodu (je to tedy stejné, jako kdybychom zapsali body pro funkci y = –2x² + 5):

x	1	2	3	4	5	6
y	3	-3	-13	-27	-45	-67
a		-6	-10	-14	-28	-32
b			-4	-4	-4	-4

Kde a a b jsou opět rozdíl mezi bodem nad tím a bodem nahoře-nalevo (první údaj je tedy –3 – 3 = –6).

Platí zde stejné pravidlo ohledně opakování jako minule. Vzhledem k tomu, že se nám o začne opakovat na b, nejvyšší mocnina x bude x². Použijeme vzorec:

a = o / m = –4 / 2 = -2

Další člen tedy bude –2x² + 5.

Opět odečteme nejvyšší člen, tentokrát –2x², od –2x² + 5 (je to tedy stejné, jako kdybychom zapsali body pro funkci y = 5).

x	1	2	3	4	5	6
y	5	5	5	5	5	5

Dříve jsme řekli, že pokud se o začne opakovat už u y, žádná mocnina x ve funkci nebude.

a = o / m = 5 / 1 = 5

Poslední člen tedy bude +5 a celá funkce bude vypadat takto:

3x³ – 2x² + 5

 

Toto je ta nejjednodušší metoda, v dalších článcích to proberu více do hloubky. Tato metoda funguje kvůli tomu, že vždy, když vezmeme rozdíl mezi členy v nějaký polynomiální řadě, tak tím získáme řadu, která má nejvyšší mocninu o jednu níž než předchozí. Proto tohle stačí opakovat dokud se nedostaneme k řadě x = a, což znamená, že se a bude opakovat u všech členů. Bohužel si nedokážu vysvětlit, proč se opakující konstanta rovná zrovna faktoriálu nejvyšší mocniny x. Na druhou stranu je logické, že čím když před nejvyšší mocninou x máme nějaký koeficient, tak to bude jakoby přeskakovat některé čísla, proto opakující se konstanta bude o tolik vyšší.

Také musím poznamenat, že touto metodou můžete zjistit rovnici jakékoliv polynomiální rovnice, nemusíte to tedy brát jako body na grafu nějaké funkce.

Mocniny v modulární aritmetice

x^y mod a = x^{y mod b} mod a

V minulé metodě jsme zjistili, že x^y mod 10 = x^{y mod 4} mod 10. Zajímalo mě, proč je to zrovna čtyři a ne kterékoliv jiné číslo. Samozřejmě to souvisí s tím, že bereme mod 10. Kdybychom např. brali mod 6, bylo by to:

x^y mod 6 = x^{y mod 2} mod 6

Proto mě zajímalo, jaký je vztah mezi a a b. Podívejte se na tuto tabulku:

a	b	c
2	1
3	2
4	2	1
5	4
6	2
7	6
8	2	2
9	6	1
10	4
11	10

Tabulka je samozřejmě velmi zjednodušená, musel jsem počítat s desítkami (přičemž ani Excel nedokázal zobrazit taková čísla, takže jsem musel něco občas počítat na Windows kalkulačce, která dokáže zobrazit více cifer než naprostá většina kalkulaček).

c udává počet prvních mocnin x, které musíme vynechat, aby tam to vyšlo. Př.

	x	x2	x3	x4	x5	x6	x7
1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	4	0	0	0	0	0
3	3	1	3	1	3	1	3
4	4	0	0	0	0	0	0
5	5	1	5	1	5	1	5
6	6	4	0	0	0	0	0
7	7	1	7	1	7	1	7
8	0	0	0	0	0	0	0
9	1	1	1	1	1	1	1

Samozřejmě jsou všechny výsledky v mod 8. Jak je vidět, když vynecháme x¹ a x², tak se nám opakují dvě posloupnosti. Proto když a = 8 –> b = 2 a c = 2.

Pojďme se tedy podívat na způsob, jak zjistit b a c.

Nejprve si udělejte rozklad čísla a na prvočísla. Nejvyšší prvočíslo v rozkladu nazývejme p (jeho mocninu n) a nejvyšší mocninu všech prvočísel nazývejme m.

b = p^{n - 1}(p - 1)

Pokud p = 2 (2 je největší prvočíslo, takže a je mocnina dvojky, tedy např. čísla 8, 16, 32…) a n ≥ 3, udělejte operace n – 2 místo n – 1. Přiznám se, že nedokážu odůvodnit, proč to tak je, ale musíte to udělat, aby vám to vyšlo.

c = m – 1

 

Př.

a = 24 = 2³ * 3

p = 3

n = 1

m = 3

b = 3⁰(2) = 2

c = 3 – 1 = 2

 

Př.

a = 25 = 5²

p = 5

n = 2

m = 2

b = 5¹(4) = 20

c = 2 – 1 = 1

 

A konečně s desítkou:

a = 10 = 5 * 2

p = 5

b = 4

c = 0

Tak jsem si konečně odpověděl na otázku, proč zrovna 4.

Odmocniny – závěr

Ptáte se, proč uvádím metody na druhou, třetí a pátou odmocninu a vynechávám čtvrtou? Podívejte se na tuto tabulku:

x	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	4	8	6	2	4	8	6	2
3	9	7	1	3	9	7	1	3
4	6	4	6	4	6	4	6	4
5	5	5	5	5	5	5	5	5
6	6	6	6	6	6	6	6	6
7	9	3	1	7	9	3	1	7
8	4	2	6	8	4	2	6	8
9	1	9	1	9	1	9	1	9

Kde všechny výsledky jsou mod 10 (a modulár b = zbytek u operace a / b, mod 10 tedy znemná poslední cifra čísla a).

Jak je vidět, jsou pouze čtyři posloupnosti, které se následně opakují. Platí tedy např., že x = x⁵ mod 10 = x⁹ mod 10 = x¹⁴ mod 10 atd.

To je zajímavé samo o sobě. Díky tomu z hlavy víme, že x^y mod 10 = x^{y mod 4} mod 10.

Př. 3⁸⁷ mod 10 = 3^{87 mod 4} mod 10 = 3³ mod 10 = 27 mod 10 = 7

Víme tedy, že 3⁸⁷, číslo, které naprostá většina kalkulaček nedokáže zobrazit v plném rozsahu, bude končit na 7, aniž bychom museli cokoliv zadávat do kalkulačky. Není tohle elegantní?

Proč jsem tedy vynechal čtvrtou odmocninu? Je to proto, že u většiny čísel (80%) máte čtyři možnosti, co může být poslední číslo y. To je velmi nespolehlivý, protože nemůžeme jako v případě druhé mocniny jednoduše použít odhad, obzvlášť proto, že čtvrtá mocnina roste ještě rychleji, než si většina z nás myslí. Proto bychom museli každou možnost zkoušet – dát ji na druhou – zvlášť, což je moc zdlouhavé a náročné.

Samozřejmě by šlo jít dále než pátá mocnina, ale ta je podle mě hranice kompromisu mezi efektností a obtížností. Nasvědčuje tomu také fakt, že většina kalkulaček má 10 míst na cifry, takže zatímco dokážou v plném rozsahu zobrazit všechna číslo mezi 1 a 100 na pátou, tak 47⁶ už zobrazit nedokážou. Tohle je ale na vás.

Ptáte se, proč zrovna čtyři? O tom jsem napsal článek zde.

Na závěr bych rád řekl, že celou tuto metodu jsem vymyslel sám (na dovolený v Německu), a až potom jsem se dozvěděl, že už visí na internetu.

Jak rychle zjistit pátou odmocninu čísla od 1 do 10 miliard

Toto je pokračování metody, kterou zjistíte druhou či třetí odmocninu n², kde 1 ≤ n ≤ 100.

Musím podotknout, že tato metoda funguje pouze v případě, že n je celé číslo a také že se předpokládá, že už znáte metodu pro druhou a třetí odmocninu.

Takže, tabulka bude vypadat takto:

	poslední cifra
02	0
12	1
22	2
32	3
42	4
52	5
62	6
72	7
82	8
92	9

To vypadá velmi jednoduše, problém je zapamatování si páté mocniny všech desítek, abyste mohli určit, mezi jakými desítkami se výsledek nachází. Ukazuje to tato tabulka:

y	y5 = x	y5 = x zaokrouhleno
10	100 000	100 000
20	3 200 000	3 mil.
30	24 300 000	25 mil.
40	102 400 000	100 mil.
50	312 500 000	300 mil.
60	777 600 000	800 mil.
70	1 680 700 000	1600 mil.
80	3 279 800 000	3200 mil.
90	5 904 900 000	6000 mil.
100	10 000 000 000	10 000 mil.

Stačí si zapamatovat zaokrouhlené výsledky, protože podle toho to většinou poznáte.

Př.

x = 6 590 815 232

y = √x

Podle poslední cifry poznáme, že poslední cifra y musí být 2. Dále si uvědomíme, že x je mezi 6000 miliony a 10 000 miliony, tím pádem musí y být mezi 90 a 100.

y = 92

 

Př.

x = 282 475 249

Poslední cifra musí být 9. y musí být mezi 40 a 50.

y = 49

 

Dobrá věc ohledně páté mocniny je také to, že tuto metodu můžete použít i pro zjištění y, když x > 100, stačí si jenom zapamatovat páté mocniny následujících desítek (110, 120, 130…). Jste tedy omezeni pouze vaší pamětí, nikoliv vašimi matematickými schopnostmi. Na druhou stranu většina kalkulaček nedokáže v plném rozsahu zobrazit čísla vyšší jak 100⁵ a potom byste nebyli schopni zjistit poslední cifru.

Já a Mathcounts

Když jsem žil v Rusku (1.-5. třída, potom 8. třída), tak jsem se právě v 8. třídě poprvé setkal s Mathcounts. Mathcounts je americká matematická soutěž pro studenty šestých, sedmých a osmých tříd. V Evropě se jednou za rok koná obdoba amerického Mathcounts, která je pořádaná organizací CEESA (organizuje soutěže mezi mezinárodními školami v Evropě ve sportech a jiných věcech) a účastní se jí osm mezinárodních škol po celé Evropě.

Dvakrát týdně po 90 minutách jsme se připravovali na tuto soutěž. Vždy jsme dostali dva časově omezené testy s příklady z minulých ročníků Mathcounts. Výsledky se zapisovaly a někdy kolem Vánoc (to už jsme to dělali 3 měsíce) vyhlásili osm vítězů, kteří pojedou do Litvy (pozor, v angličtině to je Lithuania, ne Latvia) na evropskou olympiádu.

Protože naše škola (Anglo-American School of Moscow) je největší škola z celého CEESA seznamu, vyslali jsme (společně s např. pařížskou školou) dva týmy, které měly být přibližně stejné dobrý. V obou týmech bylo dohromady šest Korejců (ti jsou na matematiku nepřekonatelní), jeden můj americký kamarád a já. Následující měsíc se třída vyprázdnila a pravidelně tam chodilo jenom nás osm. V té době jsme se také učili všemožné zrychlovací metody a vzorce, učili jsme se nazpaměť dvojmocniny a trojmocniny atp.

Konečně jsme v únoru vyrazili do Litvy. Jako u každé CEESA-pořádané akce nás “hostovala” rodina jedné studentky té školy. Byli to Američani, kteří bydleli v Litvě.

Celkově byla tři klasická kola – Sprint Round (30 otázek, 40 min, bez kalkulačky, jednotlivě), Target Round (po 2 se rozdává celkově 8 příkladů, 6 min na každý pár otázek, s kalkulačkou, jednotlivě), Team Round (10 otázek, 20 min, s kalkulačkou, tým čtyř lidí).

Potom bylo také čtvrté a asi nejzajímavější kolo – Countdown Round. Zúčastnilo se ho pouze top 10 lidí (jenom podle Sprint a Target Roundu) a šlo o to, že vždy dva lidi, kteří jsou vedle sebe v pořadí, musejí co nejrychleji vyřešit příklad, který se promítá na zeď. Hraje se do tří bodů a výherce postupuje o příčku dál a utkává se s dalším soupeřem. Tím pádem se jde z 10. místa vypracovat klidně na první.

Já jsem celkově skončil na 10. místě, přičemž všichni Korejci na té soutěži (celkově osm) bylo v top 10. Tím pádem jsem byl 2. běloch. :) Jako škola jsme ale měli neuvěřitelný úspěch, sedm z osmi našich lidí bylo v top 10 a další školy se dělily o ty dvě zbylé místa.

Naše dva týmy proto obsadily 1. i 2. místo, 3. byl jeden tým pařížské školy (přičemž jejich druhý tým byl 7.).

Přijeli také litevští novináři, kteří fotili a dělali rozhovory s několika lidmi (třeba se mnou :). Na nějakým litevským zpravodajským webu jsem našel tuto zprávu (automaticky přeložené do češtiny).

 

K čemu to je, ta matika?

Poslední dobou se pořád stýkám s názorem, že matematika je k ničemu (např. zde). Proto jsem se rozhodl nad touto otázkou zamyslet a zpracovat to do článku.

Přirovnejme matematiku k běhání. Proč lidi běhají? Přece si nikdo nemyslí, že v praktickým životě využije, že dokáže uběhnout kilometr o pár desítek sekund rychleji než někdo jiný. Nejčastější motivace bývá to, že se lidi chtějí v této činnosti zlepšit, aby podali lepší výsledky, když se srovnávají s ostatními. Lidi však běhají také proto, že si chtějí zlepšit kondici, což už je v životě důležitý, abyste byli zdraví.

U matematiky je to podobné. Matika se na školách vyučuje, protože:

1. Stejně jako si běháním zatěžujete svaly, matematikou si namáháte mozek, tím pádem se zlepšujete v logickém a racionálním uvažování.
2. Jste potom lepší, když se srovnáváte s ostatními, např. v testu / v matematický olympiádě nebo když s někým řešíte nějaký hádanky, hlavolamy…
3. Pokud jste dobrý v matice, tak to o vás něco říká. Lidi dopředu vědí, že máte dobré schopnosti uvažovat a analyzovat. Osobně neznám nikoho, kdo by byl dobrý v matematice ale hloupý ve všem ostatním.

A tohle neplatí pouze o matematice a o běhání, ale o čemkoliv jiném. K čemu vám v životě bude, když budete umět nazpaměť Máj? Zlepšíte si paměť, můžete udělat dojem na ostatní a také to o vás říká, že nejspíš máte zájem o literaturu. Také to něco vypovídá o vaší vzdělanosti, protože čím hloupější je člověk, tím je menší šance, že bude umět nazpaměť Máj.

Co se týče názoru, že matiku by se měli učit jenom lidi, kteří ji budou potřebovat v práci (vědec, ekonom, bankéř, programatátor…), tak k tomu bych dodal, že dopředu nikdy nevíte, co v životě můžete dělat a je lepší vždy mít co nejvíce možností.