Zjištění funkce z výsledků

Protože ve třídě zrovna probíráme grafy funkcí, zeptal jsem kamarád, jestli bych dokázal z výsledků nějaké funkce zjistit tu funkci. Začal jsem nad tím přemýšlet a zde jsou moje dosavadní poznatky.

Touto metodou zjistíte jakoukoliv polynomiální funkci, tzn. funkci ve tvaru:

f(x) = a_nxⁿ + b_n-1x^n-1 + c_n-2x^n-2 + d_n-3x^n-3 + ... + a₁x + a₀

neboli, zjednodušeně:

f(x) = a + bx + cx² + dx³ + ex⁴...

Např. tato funkce:

f(x) = 3x³ – 2x² + 5

Tato metoda využívá tohoto faktu:

Jestliže máme řadu výsledků pro nějakou polynomiální funkci, tak podle rozdílů mezi sousedními členy můžeme zjistit, jaká je nejvyšší mocnina této funkce a jaký má koeficient (zjistíme tedy proměnnou a).

 

Př. napišme výsledky funkce y = 3x³ – 2x² + 5:

x	1	2	3	4	5	6
y	6	21	68	165	330	581
a		15	47	97	165	251
b			32	50	68	86
c				18	18	18

a = rozdíl mezi y a předchozím y (první údaj je tedy 21 – 6 = 15, druhý je 68 – 21 = 47)

b = rozdíl mezi a a předchozím a (první údaj je tedy 47 - 15 = 32, druhý je 97 - 47 = 50)

c = rozdíl mezi b a předchozím b (první údaj je tedy 50 - 32 = 18, druhý je 68 – 50 = 18)

Pravidlo je takové, že když se nějaké číslo začne opakovat (nazveme ho o, v tomto případě tedy o = 18) už u y, v rovnici nebude ani jednou proměnná x (rovnice tedy bude y = a). Jestliže se číslo začne opakovat v řádku a, nejvyšší mocnina proměnné x bude x¹ (rovnice tedy bude y = ax + b). Jestliže se číslo začne opakovat u řádku b, nejvyšší mocnina bude x² (a rovnice bude vypadat y = ax² + bx + c), jestliže u řádku c (jako v tomto případě), nejvyšší může být x³. Zjistili jsme tedy, že vzorec této polynomiální funkce bude y = ax³ + bx² + cx + d, protože vyšší mocnina než x³ tu být nemůže.

To však není všechno. O nám zároveň řekne koeficient před nejvyšší mocninou, tedy proměnnou a. Koukněte se na tuto tabulku:

Nejvyšší mocnina x	m
x0	1
x1	1
x2	2
x3	6
x4	24
x5	120
x6	720

Vždy platí, že a = o / m (m zjistíte z výše uvedené tabulky podle nejvyšší mocniny x, což zjistíte podle toho, v jakém řádku se o začne opakovat).

Jestliže se v minulém příkladě o = 18, tak a = 18 / 6 = 3, takže zatím víme, že vzorec naší funkce bude y = 3x³ + bx² + cx + d.

Všimněte si, že m = (nejvyšší mocnina x)! (! je operace zvaná faktoriál a rovná se součinu všech kladných celých čísel od toho čísla až do 1.) Když např. máte nejvyšší mocninu x4, tak m = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24. Proto si tuto tabulku nemusíte pamatovat, stačí si to vždycky odvodit. Pozn.: 0! = 1

Teď odečteme prví člen, 3x³, od každého bodu (je to tedy stejné, jako kdybychom zapsali body pro funkci y = –2x² + 5):

x	1	2	3	4	5	6
y	3	-3	-13	-27	-45	-67
a		-6	-10	-14	-28	-32
b			-4	-4	-4	-4

Kde a a b jsou opět rozdíl mezi bodem nad tím a bodem nahoře-nalevo (první údaj je tedy –3 – 3 = –6).

Platí zde stejné pravidlo ohledně opakování jako minule. Vzhledem k tomu, že se nám o začne opakovat na b, nejvyšší mocnina x bude x². Použijeme vzorec:

a = o / m = –4 / 2 = -2

Další člen tedy bude –2x² + 5.

Opět odečteme nejvyšší člen, tentokrát –2x², od –2x² + 5 (je to tedy stejné, jako kdybychom zapsali body pro funkci y = 5).

x	1	2	3	4	5	6
y	5	5	5	5	5	5

Dříve jsme řekli, že pokud se o začne opakovat už u y, žádná mocnina x ve funkci nebude.

a = o / m = 5 / 1 = 5

Poslední člen tedy bude +5 a celá funkce bude vypadat takto:

3x³ – 2x² + 5

 

Toto je ta nejjednodušší metoda, v dalších článcích to proberu více do hloubky. Tato metoda funguje kvůli tomu, že vždy, když vezmeme rozdíl mezi členy v nějaký polynomiální řadě, tak tím získáme řadu, která má nejvyšší mocninu o jednu níž než předchozí. Proto tohle stačí opakovat dokud se nedostaneme k řadě x = a, což znamená, že se a bude opakovat u všech členů. Bohužel si nedokážu vysvětlit, proč se opakující konstanta rovná zrovna faktoriálu nejvyšší mocniny x. Na druhou stranu je logické, že čím když před nejvyšší mocninou x máme nějaký koeficient, tak to bude jakoby přeskakovat některé čísla, proto opakující se konstanta bude o tolik vyšší.

Také musím poznamenat, že touto metodou můžete zjistit rovnici jakékoliv polynomiální rovnice, nemusíte to tedy brát jako body na grafu nějaké funkce.