Jak rychle zjistit mocninu celého čísla od 1 do 100 – těžší způsob

Toto je taková zajímavost, která se ovšem vztahuje s těžším způsobem mentálního mocněním čísla.

Na tento fakt jsme přišli s mým americkým kamarádem sami, když jsme byli na Mathcounts v Litvě. Dříve jsme si mysleli, že když jsme přišli na pravidelnost v sekvenci dvojmocnin, tak že jsme zároveň přišli na pravidelnost prvočísel (protože odmocnina všech čísel kromě dvojmocnin je iracionální – důkaz zde). To se nám sice nepodařilo, ale i tak jsou naše poznatky zajímavé.

Všimli jsme si, že rozdíly mezi dvojmocninami je posloupnost:

Dvojmocniny: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Rozdíly:            1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

Tento poznatek nám však také říká, že když máme seznam všech lichých čísel, tak u všech čísel bude platit, že když sečteme to číslo a všechny předchozí lichá čísla až k nule, dostaneme dvojmocninu. Tak schválně:

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

atd.

To nám také ukazuje, že u každé dvojmocniny se počet předešlých lichých čísel, které musíme sečíst rovná odmocnina z té dvojmocniny. Zjednodušeně řečeno, počet lichých čísel, jejichž součet dá 4 bude √4 = 2 a u 25 to bude √25 = 5.

Všimněte si také, že nejvyšší liché číslo = 2√y –1, kde y je libovolná dvojmocnina. No není to geniální? Tato teorie se ale pořád ještě dá rozšiřovat do takové podoby, aby to bylo použitelné při počítání dvojmocnin libovolného celého čísla od 1 do 100.

Dejme tomu, že chceme mentálně zjistit x². Dopředu víme, že x² se bude rovnat součtu všech lichých čísel od 1 do 2√x² –1. To se dá vždycky zjednodušit na:

2x – 1

Př. 71² bude tedy (2 * 71 – 1) + (2 * 71 – 1 – 2 (předchozí liché číslo)) + (2 * 71 – 1 – 4) + (2 * 71 – 1 – 6) atd.

To se rovná 141 + 139 + 137 + 135 … + 3 + 1.

Tohle by bylo velmi náročné počítat, proto to musíme nějak zjednodušit. Můj první nápad bylo spojit poslední číslo s prvním, předposlední s druhým atp. V příklad bychom tedy měli:

(141 + 1), (139 + 3), (137 + 5)… přičemž všechny z nich se rovnají 142. Protože víme, že počet lichých čísel bude 71, tak budeme mít 35 těchto párů. Pokud je x liché číslo (jako v tomto případě), tak budeme muset ještě přičíst prostřední liché číslo, které s žádným číslem nemůže mít vazbu. Prostřední liché číslo u lichého čísla x se bude vždy = x.

V tomto případě máme tedy (35 párů 142) + 71. Takže 71² = 35 * 142 + 71. To jsme však narazili, dále to touhle metodou nezjednodušíme. Já jsem se však nevzdal a začal jsem hledat jinou metodu, jak by řada 141 + 139 + 137 + 135 … + 3 + 1 šla zjednodušit.

Nakonec jsem na to přišel. Podle předchozích úsudků se bude 702 = 139 + 137 + 135 … + 1. Jenže my logicky víme, že 70² = 4900. Tím pádem bude řada 139 + 137 + 135 … + 1 = 4900. Rozdíl mezi 71² a 70² je tedy pouze v posledním lichém čísle – 141. 71² = 70² + 141 = 5041.

Tato metoda počítání zrychluje pouze pokud je x maximálně dvě čísla od jakékoliv desítky (tu desítku bude zastupovat proměnná z). Např. 74² je tedy už jednodušší počítat klasickým systémem než 70² + 141 + 143 + 145 + 147. Na druhou stranu tohle však můžete použít také na čísla, která jsou až dvě pod nějakou desítkou, např. 49² = 50² – 99.

Pojďme se tedy znovu podívat, jak tuto metodu rychle uplatnit. Máte číslo x (které je maximálně o dva od nějaké desítky z). Pokud je číslo nad desítkou, sečtete všechny lichá čísla mezi 2x a 2z a to přičtete k z². Pokud je číslo pod desítkou, sečtete všechny lichý čísla mezi 2x a 2z a to odečtete od z².

Tak, toto byly moje matematické výplody, když mi bylo 13. :)

Jak rychle zjistit mocninu celého čísla od 1 do 100 – jednodušší způsob

Toto je metoda, která dovoluje mentálně a rychle vypočítat druhou mocninu jakéhokoliv celého čísla od 1 do 100.

Musím vás předem upozornit, že tuto metodu nezvládne každý. O moc to nezjednodušuje, proto to pořád bude především o vaší schopnosti se koncentrovat a pamatovat si mezivýpočty. Zpočátku si to ulehčete napsání si čísla na papír, protože se někdy stane, že v zápalu počítání zapomenete původní číslo. :) Pokud to však budete dělat často a ohromovat své kamarády a příbuzenstvo, budete se zdokonalovat a počet chyb a doba výpočtu budou nižší.

Jednodušší postup - teorie

Metoda ukážu na příkladu – dejme tomu číslo 82. Číslo si rozdělíme na desítky a jednotky:

(80 + 2)²

Někteří už vědí, jak dvojmocniny takovýchto závorek počítat rychlým způsobem, pro jistotu to radši vysvětlím. Pokud chcete zjistit (x + y)², bude se to vždy rovnat x² + y² + 2xy. Toto pravidlo platí úplně vždycky, můžete tímto například spočítat:

(ab² + 2b⁴)² = a²b⁴ + 4b⁸ + 4ab⁶

 

Jednodušší postup – praxe

Tím pádem

(80 + 2)² = 6400 + 4 + 320 = 6724

Mě osobně více vyhovuje to dělat v pořadí 2xy + y² + x².

Je to úplně jednoduchý:

1. Vynásobit první cifru druhou cifrou, vynásobit dvěma a přidat nulu na konec.

2. K tomu přičíst druhou mocninu poslední cifry.

3. K tomu přičíst mocninu první cifry * 100.

Matematické knihy

Tady jsou moje pocity o čtyřech matematických knihách, který mi učitel zadal přečíst přes léto (abych měl dostatečný znalosti na to, aby mě mohl učit matematiku z vyššího ročníku). Budou tu v pořadí, ve kterém jsem se četl. Všechny knížky jsou v angličtině, protože chodím na anglickou školu (The English College in Prague).

The Golden Ratio

Tato kniha je podle mě 2. nejlepší ze všech. Pojednává o zlatém řezu, což je konstanta (podobně jako π) rovná přibližně 1,618 a která se nečekaně objevuje úplně všude, ať je to příroda, umění, geometrie, numerické sekvence, pravděpodobnost… Toto téma minimálně mě přijde velmi atraktivní. Na konci knihy je soubor zajímavostí, na které autor odkazuje v textu a které tolik nesouvisí s tématem. Díky tomu se např. dozvíme důkaz pythagorovy věty či důkaz, že existuje nekonečno prvočísel.

The Music of the Primes

Tato kniha obsadila 3. místo na mém pomyslném žebříčku. Je tam velmi málo vedlejších zajímavostí a skoro celá kniha se obsahuje pouze historii prvočísel. Navíc rovnice, které se tam objevili, jsou hodně komplikované. Na druhou stranu tato kniha dává velmi dobrý přehled o historii matematiky. Kniha vypráví příběhy jmen jako Gauss, Dirichlet, Euler, Riemann, Hilbert, Wiles, Selberg apod.

Fermat's Last Theorem

Tato kniha pojednává o Velké Fermatově větě. Mluví se tu hlavně o dvou lidech – Fermat a Andrew Wiles, což je matematik, který v roce 1994 tuto větu dokázal. Tato kniha mi přišla jako nejlepší ze všech, protože zároveň je zábavné číst, jak Wiles zápasit s tak jednoduchým příkladem a také je tu mnoho vedlejších zajímavostí.

The Story of "i"

Abych se přiznal, tak jsem přečetl asi prvních 20 stránek této knihy. Pak jsem zjistil, že by možná bylo lepší, kdybych ji zatím odložil. Neporozuměl jsem ani jedné rovnici. Opravdu, tato kniha je velmi náročná, přečtu si ji za několik let.