Jak rychle zjistit mocninu celého čísla od 1 do 100 – těžší způsob

Toto je taková zajímavost, která se ovšem vztahuje s těžším způsobem mentálního mocněním čísla.

Na tento fakt jsme přišli s mým americkým kamarádem sami, když jsme byli na Mathcounts v Litvě. Dříve jsme si mysleli, že když jsme přišli na pravidelnost v sekvenci dvojmocnin, tak že jsme zároveň přišli na pravidelnost prvočísel (protože odmocnina všech čísel kromě dvojmocnin je iracionální – důkaz zde). To se nám sice nepodařilo, ale i tak jsou naše poznatky zajímavé.

Všimli jsme si, že rozdíly mezi dvojmocninami je posloupnost:

Dvojmocniny: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Rozdíly:            1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

Tento poznatek nám však také říká, že když máme seznam všech lichých čísel, tak u všech čísel bude platit, že když sečteme to číslo a všechny předchozí lichá čísla až k nule, dostaneme dvojmocninu. Tak schválně:

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

atd.

To nám také ukazuje, že u každé dvojmocniny se počet předešlých lichých čísel, které musíme sečíst rovná odmocnina z té dvojmocniny. Zjednodušeně řečeno, počet lichých čísel, jejichž součet dá 4 bude √4 = 2 a u 25 to bude √25 = 5.

Všimněte si také, že nejvyšší liché číslo = 2√y –1, kde y je libovolná dvojmocnina. No není to geniální? Tato teorie se ale pořád ještě dá rozšiřovat do takové podoby, aby to bylo použitelné při počítání dvojmocnin libovolného celého čísla od 1 do 100.

Dejme tomu, že chceme mentálně zjistit x². Dopředu víme, že x² se bude rovnat součtu všech lichých čísel od 1 do 2√x² –1. To se dá vždycky zjednodušit na:

2x – 1

Př. 71² bude tedy (2 * 71 – 1) + (2 * 71 – 1 – 2 (předchozí liché číslo)) + (2 * 71 – 1 – 4) + (2 * 71 – 1 – 6) atd.

To se rovná 141 + 139 + 137 + 135 … + 3 + 1.

Tohle by bylo velmi náročné počítat, proto to musíme nějak zjednodušit. Můj první nápad bylo spojit poslední číslo s prvním, předposlední s druhým atp. V příklad bychom tedy měli:

(141 + 1), (139 + 3), (137 + 5)… přičemž všechny z nich se rovnají 142. Protože víme, že počet lichých čísel bude 71, tak budeme mít 35 těchto párů. Pokud je x liché číslo (jako v tomto případě), tak budeme muset ještě přičíst prostřední liché číslo, které s žádným číslem nemůže mít vazbu. Prostřední liché číslo u lichého čísla x se bude vždy = x.

V tomto případě máme tedy (35 párů 142) + 71. Takže 71² = 35 * 142 + 71. To jsme však narazili, dále to touhle metodou nezjednodušíme. Já jsem se však nevzdal a začal jsem hledat jinou metodu, jak by řada 141 + 139 + 137 + 135 … + 3 + 1 šla zjednodušit.

Nakonec jsem na to přišel. Podle předchozích úsudků se bude 702 = 139 + 137 + 135 … + 1. Jenže my logicky víme, že 70² = 4900. Tím pádem bude řada 139 + 137 + 135 … + 1 = 4900. Rozdíl mezi 71² a 70² je tedy pouze v posledním lichém čísle – 141. 71² = 70² + 141 = 5041.

Tato metoda počítání zrychluje pouze pokud je x maximálně dvě čísla od jakékoliv desítky (tu desítku bude zastupovat proměnná z). Např. 74² je tedy už jednodušší počítat klasickým systémem než 70² + 141 + 143 + 145 + 147. Na druhou stranu tohle však můžete použít také na čísla, která jsou až dvě pod nějakou desítkou, např. 49² = 50² – 99.

Pojďme se tedy znovu podívat, jak tuto metodu rychle uplatnit. Máte číslo x (které je maximálně o dva od nějaké desítky z). Pokud je číslo nad desítkou, sečtete všechny lichá čísla mezi 2x a 2z a to přičtete k z². Pokud je číslo pod desítkou, sečtete všechny lichý čísla mezi 2x a 2z a to odečtete od z².

Tak, toto byly moje matematické výplody, když mi bylo 13. :)