Odmocniny – závěr

Ptáte se, proč uvádím metody na druhou, třetí a pátou odmocninu a vynechávám čtvrtou? Podívejte se na tuto tabulku:

x	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	4	8	6	2	4	8	6	2
3	9	7	1	3	9	7	1	3
4	6	4	6	4	6	4	6	4
5	5	5	5	5	5	5	5	5
6	6	6	6	6	6	6	6	6
7	9	3	1	7	9	3	1	7
8	4	2	6	8	4	2	6	8
9	1	9	1	9	1	9	1	9

Kde všechny výsledky jsou mod 10 (a modulár b = zbytek u operace a / b, mod 10 tedy znemná poslední cifra čísla a).

Jak je vidět, jsou pouze čtyři posloupnosti, které se následně opakují. Platí tedy např., že x = x⁵ mod 10 = x⁹ mod 10 = x¹⁴ mod 10 atd.

To je zajímavé samo o sobě. Díky tomu z hlavy víme, že x^y mod 10 = x^{y mod 4} mod 10.

Př. 3⁸⁷ mod 10 = 3^{87 mod 4} mod 10 = 3³ mod 10 = 27 mod 10 = 7

Víme tedy, že 3⁸⁷, číslo, které naprostá většina kalkulaček nedokáže zobrazit v plném rozsahu, bude končit na 7, aniž bychom museli cokoliv zadávat do kalkulačky. Není tohle elegantní?

Proč jsem tedy vynechal čtvrtou odmocninu? Je to proto, že u většiny čísel (80%) máte čtyři možnosti, co může být poslední číslo y. To je velmi nespolehlivý, protože nemůžeme jako v případě druhé mocniny jednoduše použít odhad, obzvlášť proto, že čtvrtá mocnina roste ještě rychleji, než si většina z nás myslí. Proto bychom museli každou možnost zkoušet – dát ji na druhou – zvlášť, což je moc zdlouhavé a náročné.

Samozřejmě by šlo jít dále než pátá mocnina, ale ta je podle mě hranice kompromisu mezi efektností a obtížností. Nasvědčuje tomu také fakt, že většina kalkulaček má 10 míst na cifry, takže zatímco dokážou v plném rozsahu zobrazit všechna číslo mezi 1 a 100 na pátou, tak 47⁶ už zobrazit nedokážou. Tohle je ale na vás.

Ptáte se, proč zrovna čtyři? O tom jsem napsal článek zde.

Na závěr bych rád řekl, že celou tuto metodu jsem vymyslel sám (na dovolený v Německu), a až potom jsem se dozvěděl, že už visí na internetu.