Jak rychle zjistit třetí odmocninu čísla od 1 do 1 milionu

Když už tedy umím počítat v hlavně druhé odmocniny, tak další logický krok jsou třetí odmocniny. Používá to stejnou metodu jako u druhých odmocnin.

x = trojmocnina od 1 do 1 000 000

y = odmocnina (tedy číslo od 1 do 100)

Tentokrát však tabulka vypadá takto:

	poslední cifra
03	0
13	1
23	8
33	7
43	4
53	5
63	6
73	3
83	2
93	9

Jak je vidět, tak tohle je lehčí než u dvojmocnin. Každá cifra má pouze jedno číslo, které ji může vytvořit, proto nemusíme nic odhadovat.

Taky může pro někoho být těžké v hlavě počítat trojmocniny desítek, proto radši uvedu ještě tuto tabulku:

y	y3 = x
10	1 000
20	8 000
30	27 000
40	64 000
50	125 000
60	216 000
70	343 000
80	512 000
90	729 000

Jak rychle zjistit odmocninu dvojmocniny od 1 do 10 tisíc

Když už tedy umím počítat dvojmocniny čísel, tak mě napadlo, že bych vyvinul i nějakou metodu, abych to dokázal naopak. Proto jsem začal přemýšlet nad tím, jak by to šlo udělat.

x = dvojmocnina od 1 do 10000

y = odmocnina (tedy číslo od 1 do 100)

Jako první se koukneme na x a určíme, mezi jakými dvěma desítkami y musí být. Např. odmocnina z 7569 je mezi 6400 a 8100, y tedy musí být mezi 80 a 90.

Jakmile známe desítky, stačí zjistit jednotky.

Tato metoda využívá toho, že podle poslední cifry x jde zjistit poslední cifra u čísla y.

	poslední cifra
02	0
12	1
22	4
32	9
42	6
52	5
62	6
72	9
82	4
92	1

Tato tabulka nám říká, že když x končí např. 9, y bude končit buďto 3 nebo 7. Také nám to říká, že dvojmocnina nikdy nemůže končit čísly 2, 3, 7 a 8, takže někdy můžete rychle vyloučit, že nějaké číslo je dvojmocnina.

Když zkombinujeme tyto dvě metody, tak můžeme vždycky určit, jaké dvě možnosti a a b to můžou být. Abyste tyto dvě možnosti rozlišili, použijte odhad.

Myslím si, že u všech ten odhad lze použít celkem spolehlivě kromě čísel, která končí na 6. U těchto čísel budou a a b velmi blízko u sebe (např. 34 a 36 nebo 94 a 96) a proto je těžké to správně odhadnout. U těchto čísel se mi osvědčilo rychle spočítat y² (jak se to dělá?) pro buď _4 či _6 a pokud to není ono, tak je to to druhé číslo. Abyste si tuto činnost urychlili, tak u všech čísel kromě párů 24, 26 a 74, 76 nemusíte počítat celou tu dvojmocninu y², stačí jenom desítky a jednotky a podle toho už rozlišíte, jestli to je ono či nikoliv. Páry 24, 26 a 74, 76 jsou však zrádný, protože:

24² = 576

26² = 676

74² = 5476

76² = 5776

Jak je vidět, tak nestačí spočítat pouze desítky a jednotky, protože podle toho y nezjistíte. U těchto čísel musíte buďto spočítat celé y² nebo si zapamatovat, kolik je 24² a 74² (nebo kolik je 26² a 76²).

Jak rychle zjistit mocninu celého čísla od 1 do 100 – těžší způsob

Toto je taková zajímavost, která se ovšem vztahuje s těžším způsobem mentálního mocněním čísla.

Na tento fakt jsme přišli s mým americkým kamarádem sami, když jsme byli na Mathcounts v Litvě. Dříve jsme si mysleli, že když jsme přišli na pravidelnost v sekvenci dvojmocnin, tak že jsme zároveň přišli na pravidelnost prvočísel (protože odmocnina všech čísel kromě dvojmocnin je iracionální – důkaz zde). To se nám sice nepodařilo, ale i tak jsou naše poznatky zajímavé.

Všimli jsme si, že rozdíly mezi dvojmocninami je posloupnost:

Dvojmocniny: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Rozdíly:            1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

Tento poznatek nám však také říká, že když máme seznam všech lichých čísel, tak u všech čísel bude platit, že když sečteme to číslo a všechny předchozí lichá čísla až k nule, dostaneme dvojmocninu. Tak schválně:

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

atd.

To nám také ukazuje, že u každé dvojmocniny se počet předešlých lichých čísel, které musíme sečíst rovná odmocnina z té dvojmocniny. Zjednodušeně řečeno, počet lichých čísel, jejichž součet dá 4 bude √4 = 2 a u 25 to bude √25 = 5.

Všimněte si také, že nejvyšší liché číslo = 2√y –1, kde y je libovolná dvojmocnina. No není to geniální? Tato teorie se ale pořád ještě dá rozšiřovat do takové podoby, aby to bylo použitelné při počítání dvojmocnin libovolného celého čísla od 1 do 100.

Dejme tomu, že chceme mentálně zjistit x². Dopředu víme, že x² se bude rovnat součtu všech lichých čísel od 1 do 2√x² –1. To se dá vždycky zjednodušit na:

2x – 1

Př. 71² bude tedy (2 * 71 – 1) + (2 * 71 – 1 – 2 (předchozí liché číslo)) + (2 * 71 – 1 – 4) + (2 * 71 – 1 – 6) atd.

To se rovná 141 + 139 + 137 + 135 … + 3 + 1.

Tohle by bylo velmi náročné počítat, proto to musíme nějak zjednodušit. Můj první nápad bylo spojit poslední číslo s prvním, předposlední s druhým atp. V příklad bychom tedy měli:

(141 + 1), (139 + 3), (137 + 5)… přičemž všechny z nich se rovnají 142. Protože víme, že počet lichých čísel bude 71, tak budeme mít 35 těchto párů. Pokud je x liché číslo (jako v tomto případě), tak budeme muset ještě přičíst prostřední liché číslo, které s žádným číslem nemůže mít vazbu. Prostřední liché číslo u lichého čísla x se bude vždy = x.

V tomto případě máme tedy (35 párů 142) + 71. Takže 71² = 35 * 142 + 71. To jsme však narazili, dále to touhle metodou nezjednodušíme. Já jsem se však nevzdal a začal jsem hledat jinou metodu, jak by řada 141 + 139 + 137 + 135 … + 3 + 1 šla zjednodušit.

Nakonec jsem na to přišel. Podle předchozích úsudků se bude 702 = 139 + 137 + 135 … + 1. Jenže my logicky víme, že 70² = 4900. Tím pádem bude řada 139 + 137 + 135 … + 1 = 4900. Rozdíl mezi 71² a 70² je tedy pouze v posledním lichém čísle – 141. 71² = 70² + 141 = 5041.

Tato metoda počítání zrychluje pouze pokud je x maximálně dvě čísla od jakékoliv desítky (tu desítku bude zastupovat proměnná z). Např. 74² je tedy už jednodušší počítat klasickým systémem než 70² + 141 + 143 + 145 + 147. Na druhou stranu tohle však můžete použít také na čísla, která jsou až dvě pod nějakou desítkou, např. 49² = 50² – 99.

Pojďme se tedy znovu podívat, jak tuto metodu rychle uplatnit. Máte číslo x (které je maximálně o dva od nějaké desítky z). Pokud je číslo nad desítkou, sečtete všechny lichá čísla mezi 2x a 2z a to přičtete k z². Pokud je číslo pod desítkou, sečtete všechny lichý čísla mezi 2x a 2z a to odečtete od z².

Tak, toto byly moje matematické výplody, když mi bylo 13. :)

Jak rychle zjistit mocninu celého čísla od 1 do 100 – jednodušší způsob

Toto je metoda, která dovoluje mentálně a rychle vypočítat druhou mocninu jakéhokoliv celého čísla od 1 do 100.

Musím vás předem upozornit, že tuto metodu nezvládne každý. O moc to nezjednodušuje, proto to pořád bude především o vaší schopnosti se koncentrovat a pamatovat si mezivýpočty. Zpočátku si to ulehčete napsání si čísla na papír, protože se někdy stane, že v zápalu počítání zapomenete původní číslo. :) Pokud to však budete dělat často a ohromovat své kamarády a příbuzenstvo, budete se zdokonalovat a počet chyb a doba výpočtu budou nižší.

Jednodušší postup - teorie

Metoda ukážu na příkladu – dejme tomu číslo 82. Číslo si rozdělíme na desítky a jednotky:

(80 + 2)²

Někteří už vědí, jak dvojmocniny takovýchto závorek počítat rychlým způsobem, pro jistotu to radši vysvětlím. Pokud chcete zjistit (x + y)², bude se to vždy rovnat x² + y² + 2xy. Toto pravidlo platí úplně vždycky, můžete tímto například spočítat:

(ab² + 2b⁴)² = a²b⁴ + 4b⁸ + 4ab⁶

 

Jednodušší postup – praxe

Tím pádem

(80 + 2)² = 6400 + 4 + 320 = 6724

Mě osobně více vyhovuje to dělat v pořadí 2xy + y² + x².

Je to úplně jednoduchý:

1. Vynásobit první cifru druhou cifrou, vynásobit dvěma a přidat nulu na konec.

2. K tomu přičíst druhou mocninu poslední cifry.

3. K tomu přičíst mocninu první cifry * 100.

Matematické knihy

Tady jsou moje pocity o čtyřech matematických knihách, který mi učitel zadal přečíst přes léto (abych měl dostatečný znalosti na to, aby mě mohl učit matematiku z vyššího ročníku). Budou tu v pořadí, ve kterém jsem se četl. Všechny knížky jsou v angličtině, protože chodím na anglickou školu (The English College in Prague).

The Golden Ratio

Tato kniha je podle mě 2. nejlepší ze všech. Pojednává o zlatém řezu, což je konstanta (podobně jako π) rovná přibližně 1,618 a která se nečekaně objevuje úplně všude, ať je to příroda, umění, geometrie, numerické sekvence, pravděpodobnost… Toto téma minimálně mě přijde velmi atraktivní. Na konci knihy je soubor zajímavostí, na které autor odkazuje v textu a které tolik nesouvisí s tématem. Díky tomu se např. dozvíme důkaz pythagorovy věty či důkaz, že existuje nekonečno prvočísel.

The Music of the Primes

Tato kniha obsadila 3. místo na mém pomyslném žebříčku. Je tam velmi málo vedlejších zajímavostí a skoro celá kniha se obsahuje pouze historii prvočísel. Navíc rovnice, které se tam objevili, jsou hodně komplikované. Na druhou stranu tato kniha dává velmi dobrý přehled o historii matematiky. Kniha vypráví příběhy jmen jako Gauss, Dirichlet, Euler, Riemann, Hilbert, Wiles, Selberg apod.

Fermat's Last Theorem

Tato kniha pojednává o Velké Fermatově větě. Mluví se tu hlavně o dvou lidech – Fermat a Andrew Wiles, což je matematik, který v roce 1994 tuto větu dokázal. Tato kniha mi přišla jako nejlepší ze všech, protože zároveň je zábavné číst, jak Wiles zápasit s tak jednoduchým příkladem a také je tu mnoho vedlejších zajímavostí.

The Story of "i"

Abych se přiznal, tak jsem přečetl asi prvních 20 stránek této knihy. Pak jsem zjistil, že by možná bylo lepší, kdybych ji zatím odložil. Neporozuměl jsem ani jedné rovnici. Opravdu, tato kniha je velmi náročná, přečtu si ji za několik let.

Důkaz, že 1=0!

Toto je série algebraických kroků, po které dosáhneme výsledku 1=0. Váš úkol je najít, v jakém kroku je chyba a proč. Správná odpověď je vysvětlena dole, takže na to první zkuste přijít sami.

a = b = 1

a² = ab

a² – b² = ab – b²

(a – b)(a + b) = b(a – b)

a + b = b

a = 0

1 = 0

 

Nápověda

Na stejném principu funguje i tato rovnice:

a = b

a² = ab

a² – b² = ab – b²

(a – b)(a + b) = b(a – b)

a + b = b

b + b = b

1 + 1 = 1

2 = 1

 

Odpověď

Problém je v kroku, kdy celou rovnici dělíte (a – b). Vzhledem k tomu, že a = b, tak a – b = 0, takže se snažíte dělit nulou. V tom kroku teda prakticky máte (a + b) * 0 = b * 0 aneb 2 * 0 = 1 * 0. Toto je samozřejmě správně, ale nemůžeme vydělit nulou a získat 2 = 1, protože tím dojde k rozporu. Toto je velmi dobrý důkaz, proč se nikdy nesmí dělit nulou.

Celá rovnice by teoreticky šla napsat pouze v jedné proměnné, ale to bychom v tom kritickém kroku dělili (a – a), což je mnohem průhlednější. Jsou tu tedy dvě proměnné, protože člověk si to neuvědomí tak lehce.

Důkaz, že všechna čísla kromě druhých mocnin jsou iracionální

Tento důkaz používá metodu zvanou (latinsky) reductio ad absurdum. To znamená, že v případě, kdy máte pouze dvě volné možnosti – že tato čísla jsou buďto racionální, nebo iracionální, tak můžete dokázat, že jedno z těchto tvrzení není pravdivé, a tím pádem bude pravdivé to druhé.

Příklad budu provádět na √2, ale platí to stejně pro všechny čísla kromě druhých mocnin.

Zpočátku tedy usoudíme, že √2 je racionální a nakonec dojdeme k rozporu. Jestliže je racionální, může být vyjádřena jako poměr (zlomek) dvou nesoudělných celých čísel (čísla, která mají pouze jednoho společného dělitele – 1, takže maximálně jedno z nich je sudé) a a b. Platí tedy, že:

√2 = a/b

2 = a²/b²

2b² = a²

Všimněte si, že 2b² musí být sudé číslo a jelikož se to také rovná a², a² musí také být sudé číslo. A jestliže a² je sudé, a musí také být sudé. Vzhledem k tomu, že a a b jsou nesoudělná čísla, maximálně jedno z nich může být sudé, takže b je liché číslo. Jestliže a je sudé, lze ho napsat jako:

a = 2r

Toto dosadíme do předešlé rovnice:

2b² = (2r)²

4r² = 2b²

2r² = b²

Stačí používat stejné argumenty jako předtím a dojdeme k tomu, že 2r² je sudé, tím pádem b² je sudé, a tím pádem b je sudé. Předtím jsme ale dokázali, že b musí být liché (protože a je sudé a a a b jsou nesoudělná čísla). Narazili jsme tedy na logický rozpor, proto naše počáteční tvrzení, že √2 je racionální číslo, není pravdivé, takže musí být iracionální.

Touto metodou jde dokázat, že jakékoliv celé přirozené číslo, které není dvojmocnina – např. 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10… je iracionální.